В остроугольном треугольнике $ABC$ с углом $45^{\circ}$ при вершине $A$ проведены высоты $AD$, $BE$ и $CF$. Луч $EF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$. Оказалось, что прямые $AX$ и $DE$ параллельны. Найдите углы треугольника $ABC$
Подробнее
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На касательную, проведённую из точки $C$ к описанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$, опущен перпендикуляр $HQ$ (точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$). Докажите, что окружность, проходящая через точку $B_{1}$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$, касается также и прямой $A_{1}Q$
Подробнее
Точка $I$ - центр вписанной в четырёхугольник $ABCD$ окружности. Докажите, что на луче $CI$ найдётся такая точка $K$, что $\angle KBI=\angle KDI=\angle BAI$
Подробнее
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD=2\angle BCD$ и $AB=AD$. Пусть $P$ - такая точка, что $ABCP$ - параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$
Подробнее
Точка $M$ - середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности соответственно $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются в точке $E$. Пусть прямая $ED$ пересекает окружность $\omega_{1}$ в точке $F$, а прямая $FB$ пересекает $AD$ в точке $G$. Докажите, что $GM$ - биссектриса угла $BGD$
Подробнее
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ - произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ провели высоту $AT$ и биссектрису $BD$. Оказалось, что $\angle ADB=45^{\circ}$. Найдите $\angle DTC$
Подробнее
Пусть $BH$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^{\circ}$). Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$
Подробнее
Окружности $s_{1}$ и $s_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_{1}$ и $P_{2}$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_{1}A\cdot AP_{2}$ принимает наибольшее значение
Подробнее
Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ - середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$, для которой $DL=\frac{1}{2}BI$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами
Подробнее
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причём $AD=AE=EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$ так, что $ED=CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности
Подробнее
Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD\gt BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$
Подробнее
Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность, описанная около треугольника $AHC$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает прямую $AC$ в точке $R$. На прямой $PH$ взята такая точка $K$, что $\angle KAC=90^{\circ}$. Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен $100^{\circ}$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена такая точка $D$, что $AD=BC$. Чему равен угол $BCD$
Подробнее
Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ отмечена такая точка $M$, что $\angle MBC=30^{\circ}$, $\angle MCB=10^{\circ}$. Найдите угол $AMC$, если $\angle BAC=80^{\circ}$
Подробнее
