Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16429
2026-02-19 
В треугольнике $ABC$ провели высоту $AT$ и биссектрису $BD$. Оказалось, что $\angle ADB=45^{\circ}$. Найдите $\angle DTC$
Решение:
Опишем окружность около треугольника $ABD$ и продолжим отрезки $AT$ и $BT$ до пересечения с ней в точках $U$ и $V$ соответственно. Тогда
$\angle TUB=\angle AUB=\angle ADB=45^{\circ},$
а т.к. треугольник $BTU$ прямоугольный, то
$\angle UBV=\angle UBT=45^{\circ}.$
Значит меньшие дуги $AB$ и $UV$ равны $90^{\circ}$, а т.к. $D$ - середина меньшей дуги $AV$, то равны дуги $BAD$ и $DVU$. Тогда равны хорды $BD$ и $DU$, т.е. точка $D$ равноудалена от концов хорды $BU$, поэтому прямая $DT$ - серединный перпендикуляр к этой хорде. Значит, точка $M$ пересечения прямой $DT$ с хордой $BU$ - середина $BU$, а т.к. прямоугольный треугольник $BTU$ - равнобедренный, то его высота $TM$ является биссектрисой. Следовательно,
$\angle DTC=\angle MTB=45^{\circ}$.
В треугольнике $ABC$ провели высоту $AT$ и биссектрису $BD$. Оказалось, что $\angle ADB=45^{\circ}$. Найдите $\angle DTC$
Решение:
Опишем окружность около треугольника $ABD$ и продолжим отрезки $AT$ и $BT$ до пересечения с ней в точках $U$ и $V$ соответственно. Тогда
$\angle TUB=\angle AUB=\angle ADB=45^{\circ},$
а т.к. треугольник $BTU$ прямоугольный, то
$\angle UBV=\angle UBT=45^{\circ}.$
Значит меньшие дуги $AB$ и $UV$ равны $90^{\circ}$, а т.к. $D$ - середина меньшей дуги $AV$, то равны дуги $BAD$ и $DVU$. Тогда равны хорды $BD$ и $DU$, т.е. точка $D$ равноудалена от концов хорды $BU$, поэтому прямая $DT$ - серединный перпендикуляр к этой хорде. Значит, точка $M$ пересечения прямой $DT$ с хордой $BU$ - середина $BU$, а т.к. прямоугольный треугольник $BTU$ - равнобедренный, то его высота $TM$ является биссектрисой. Следовательно,
$\angle DTC=\angle MTB=45^{\circ}$.
