Каждая из двух урн содержит белые и черные шары, причем общее число шаров в обеих урнах равно 25. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Зная, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54, найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся черными.
Подробнее
Учителю и учащимся некоторого класса задаются вопросы. Вероятность того, что ответ учителя будет правильным, равна $\alpha$, а вероятность правильного ответа учащегося равна $\beta$ или $\gamma$ в зависимости оттого, кто отвечал - мальчик или девочка соответственно. Вероятность того, что ответ случайно выбранного учащегося совпадет с ответом учителя, равна 1/2. Найти отношение числа мальчиков к числу девочек в классе.
Подробнее
Из вершин правильного $n$-угольника $(n \geq 6)$ наугад выбираются две тройки различных точек. Какова вероятность того, что два треугольника, вершинами которых являются выбранные тройки, не пересекаются?
Подробнее
Вокруг правильного $2n$-угольника описана окружность. Тройка различных его вершин называется односторонней, если существует полуокружность, на которой лежат эти вершины (концы полуокружности принадлежат ей). Какова вероятность того, что случайно выбранная тройка вершин окажется односторонней?
Подробнее
В урне находятся $n$ белых и $m$ черных шаров, рядом с урной - ящик с достаточно большим количеством черных шаров. Производится следующая операция: из урны наугад вынимается пара шаров; если они оказались одноцветными, то черный шар из ящика перекладывается в урну; если же они оказались разноцветными, то белый шар возвращается в урну. Операция повторяется до тех пор, пока в урне останется один шар. С какой вероятностью он будет белым?
Подробнее
Игрок А бросает монету $n+1$ раз, а игрок В - $n$ раз. Какова вероятность того, что в итоге у игрока А выпадет больше «орлов», чем у игрока В?
Подробнее
Строка $(i_{1}; i_{2}; \cdots; i_{n})$ составлена из $n > 3$ первых натуральных чисел, расположенных в случайном порядке. Какова вероятность того, что при всех $k = 1, 2, \cdots, n$ справедливо неравенство $i_{k} \geq k – 3$?
Подробнее
Колода из $n$ различных игральных карт, расположенных в случайном порядке, содержит три туза. Верхние карты колоды одна за другой снимаются, пока не будет снят второй туз. Доказать, что среднее число снятых карт равно $(n + 1)/2$.
Подробнее
Строка $(i_{1}; i_{2}; \cdots; i_{n})$ составлена из $n$ первых натуральных чисел, расположенных в случайном порядке. Найти среднее число инверсий (беспорядков) в этой строке, если инверсией называть каждую пару чисел $i_{j} > i_{k}$, для которой $j < k$.
Подробнее
Два игрока A и В наблюдают за мальчиком, который без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасываний записываются последовательно с помощью букв: на k-м месте последовательности ставится буква О или буква Р в зависимости от того, что выпадает при k-м подбрасывании - «орел» или «решка» соответственно. Игрок A утверждает, что тройка ООО встретится в записи раньше, чем тройка ОРО. Игрок В поспорил, что произойдет обратное. Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре?
Подробнее
Три стрелка A, В, С решили одновременно драться на дуэли. Они расположились в вершинах равностороннего треугольника и условились о следующем: первый выстрел делает A, второй - B, третий - С и т. д. по кругу; если один из стрелков выбывает, то дуэль продолжается между двумя оставшимися. Известно, что стрелок A поражает цель с вероятностью 0,3, стрелок С - с вероятностью 0,5, а стрелок В вообще никогда не промахивается. Каждый стреляет в одного из двух других или в воздух с таким расчетом, чтобы с наибольшей вероятностью выиграть дуэль. Куда должен направить свой первый выстрел стрелок A: 1) в стрелка С; 2) в стрелка В: 3) в воздух?
Подробнее
Точка движется по ребрам куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Из любой вершины она может двигаться по одному из трех ребер (выходящих из этой вершины) наугад с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Вершины $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ отличаются тем, что, попав в любую из них, точка уже никуда не движется. Если точка начинает движение из вершины A, то с какой вероятностью она: 1) остановится в вершине $B^{\prime}$ 2) остановится в вершине $C^{\prime}$; 3) никогда не попадет ни в вершину $B^{\prime}$, ни в вершину $C^{\prime}$?
Подробнее
«Молекула воздуха» при температуре $25^{ \circ} С$ и давлении 760 мм pт. cт., двигаясь со средней скоростью 450 м/сек, успевает между двумя последовательными столкновениями пролететь около $7 \cdot 10^{-6} см$. Если в воздухе отсутствует струйное, макроскопическое движение, то сколько примерно времени понадобится молекуле, чтобы удалиться на 1 см от точки, в которой она находится в данный момент?
Подробнее
В сумке у мальчика три красных, два зеленых и один белый шарик. Он вынимает, не глядя, три первых попавшихся под руку шарика. Какова вероятность того, что:
а) все три шарика разного цвета?
б) все три шарика одного цвета?
Подробнее
Неподвижная сфера радиуса $b$ «обстреливается» потоком маленьких шариков радиуса $a$. Будем предполагать, что рассеяние абсолютно упругое и что угол падения равен углу отражения (они отсчитываются от линии, соединяющей центры сферы и шарика в момент соприкосновения). Получите выражение для относительной доли шариков, рассеиваемых на разные углы. Результат представьте в виде формулы для сечения рассеяния. Убедитесь, что результат для полного сечения рассеяния сводится к очевидному выражению $\pi (a+b)^{2}$.
Подробнее