Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16428
2026-02-19 
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ - произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$
Решение:
Проведём через центр $O$ окружности $\omega$ прямые $a$, $b$, $c$, параллельные соответственно прямым $BC$, $CA$, $AB$, и опустим на них перпендикуляры $PA''$, $PB''$, $PC''$. Заметим, что точки $A''$, $B''$, $C''$ лежат на окружности с диаметром $OP$ и
$\angle A''C''B''=\angle A''PB''=60^{\circ}.$
Аналогично, для угла $A''C''B''$. Следовательно, треугольник $A''C''B''$ равносторонний и его центр тяжести совпадает с серединой $M$ отрезка $OP$.
Докажем, что тяжести треугольника $A'C'B'$ находится в той же точке. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - середины сторон соответственно $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$. Точка $O$ - центр тяжести треугольника $ABC$, поэтому
$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}$
(см. задачу 7641), а т.к.
$\overrightarrow{A'A''}=-\overrightarrow{OA_{1}},~\overrightarrow{B'B''}=-\overrightarrow{OB_{1}},~\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OC_{1}},$
то
$\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}.$
Значит,
$\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC'}=(\overrightarrow{MA''}-\overrightarrow{A'A''})+(\overrightarrow{MB''}-\overrightarrow{B'B''})+(\overrightarrow{MC''}-\overrightarrow{C'C''})=(\overrightarrow{MA''}+\overrightarrow{MB''}+\overrightarrow{MC''})-(\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''})=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.$
Следовательно, $M$ - центр тяжести треугольника $A'B'C'$ (см. примечание к задаче 7640
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ - произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$
Решение:
Проведём через центр $O$ окружности $\omega$ прямые $a$, $b$, $c$, параллельные соответственно прямым $BC$, $CA$, $AB$, и опустим на них перпендикуляры $PA''$, $PB''$, $PC''$. Заметим, что точки $A''$, $B''$, $C''$ лежат на окружности с диаметром $OP$ и
$\angle A''C''B''=\angle A''PB''=60^{\circ}.$
Аналогично, для угла $A''C''B''$. Следовательно, треугольник $A''C''B''$ равносторонний и его центр тяжести совпадает с серединой $M$ отрезка $OP$.
Докажем, что тяжести треугольника $A'C'B'$ находится в той же точке. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - середины сторон соответственно $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$. Точка $O$ - центр тяжести треугольника $ABC$, поэтому
$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}$
(см. задачу 7641), а т.к.
$\overrightarrow{A'A''}=-\overrightarrow{OA_{1}},~\overrightarrow{B'B''}=-\overrightarrow{OB_{1}},~\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OC_{1}},$
то
$\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}.$
Значит,
$\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC'}=(\overrightarrow{MA''}-\overrightarrow{A'A''})+(\overrightarrow{MB''}-\overrightarrow{B'B''})+(\overrightarrow{MC''}-\overrightarrow{C'C''})=(\overrightarrow{MA''}+\overrightarrow{MB''}+\overrightarrow{MC''})-(\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''})=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.$
Следовательно, $M$ - центр тяжести треугольника $A'B'C'$ (см. примечание к задаче 7640
