Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16424
2026-02-17 
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На касательную, проведённую из точки $C$ к описанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$, опущен перпендикуляр $HQ$ (точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$). Докажите, что окружность, проходящая через точку $B_{1}$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$, касается также и прямой $A_{1}Q$
Решение:
Пусть $s_{1}$ - описанная окружность треугольника $AB_{1}C_{1}$, а $s_{2}$ - окружность, проходящая через точку $B_{1}$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой угловая величина дуги, отсекаемой хордой $AB_{1}$ от окружности $s_{2}$, равна угловой величине угла $A$. Тому же равна и угловая величина дуги, отсекаемой хордой $B_{1}C_{1}$ от окружности $s_{1}$.
Из точек $A_{1}$ и $Q$ отрезок $CH$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $CH$, поэтому вписанные в эту окружность углы $HA_{1}Q$ и $HCQ$ равны. Обозначим $\angle HA_{1}Q=\angle HCQ=\varphi$.
Пусть луч $AA_{1}$ пересекает окружность $s_{1}$ в точке $P$. Из точки $A_{1}$ к окружности $s_{2}$ проведены секущая $A_{1}PA$ и касательная, образующая с этой секущей угол, равный $\varphi$. Из точки $C$ к окружности $s_{1}$ проведены секущая $CHC_{1}$ и прямая, образующая с этой секущей угол, равный тоже $\varphi$. Нужно доказать, что эта прямая - касательная к окружности $s_{1}$. Для этого нужно установить, что две такие фигуры подобны.
Обозначим $\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$. Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому достаточно проверить, что $\frac{AP}{C_{1}H}=\frac{AA_{1}}{C_{1}C}$. Из теоремы синусов получаем, что первое отношение равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности $s_{1}$ равен $AH$, а диаметр окружности $s_{2}$ равен $\frac{AB_{1}}{\sin\angle C_{1}AB_{1}}=\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}$. Значит,
$\frac{AP}{C_{1}H}=\frac{\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}}{AH}=\frac{AB_{1}}{AH}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{\sin\angle AHB_{1}}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}.$
С другой стороны, отношение высот $\frac{AA_{1}}{C_{1}C}$ равно отношению сторон $\frac{AB}{BC}$, которое по теореме синусов тоже равно $\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$. Отсюда следует утверждение задачи
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На касательную, проведённую из точки $C$ к описанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$, опущен перпендикуляр $HQ$ (точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$). Докажите, что окружность, проходящая через точку $B_{1}$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$, касается также и прямой $A_{1}Q$
Решение:
Пусть $s_{1}$ - описанная окружность треугольника $AB_{1}C_{1}$, а $s_{2}$ - окружность, проходящая через точку $B_{1}$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой угловая величина дуги, отсекаемой хордой $AB_{1}$ от окружности $s_{2}$, равна угловой величине угла $A$. Тому же равна и угловая величина дуги, отсекаемой хордой $B_{1}C_{1}$ от окружности $s_{1}$.
Из точек $A_{1}$ и $Q$ отрезок $CH$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $CH$, поэтому вписанные в эту окружность углы $HA_{1}Q$ и $HCQ$ равны. Обозначим $\angle HA_{1}Q=\angle HCQ=\varphi$.
Пусть луч $AA_{1}$ пересекает окружность $s_{1}$ в точке $P$. Из точки $A_{1}$ к окружности $s_{2}$ проведены секущая $A_{1}PA$ и касательная, образующая с этой секущей угол, равный $\varphi$. Из точки $C$ к окружности $s_{1}$ проведены секущая $CHC_{1}$ и прямая, образующая с этой секущей угол, равный тоже $\varphi$. Нужно доказать, что эта прямая - касательная к окружности $s_{1}$. Для этого нужно установить, что две такие фигуры подобны.
Обозначим $\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$. Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому достаточно проверить, что $\frac{AP}{C_{1}H}=\frac{AA_{1}}{C_{1}C}$. Из теоремы синусов получаем, что первое отношение равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности $s_{1}$ равен $AH$, а диаметр окружности $s_{2}$ равен $\frac{AB_{1}}{\sin\angle C_{1}AB_{1}}=\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}$. Значит,
$\frac{AP}{C_{1}H}=\frac{\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}}{AH}=\frac{AB_{1}}{AH}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{\sin\angle AHB_{1}}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}.$
С другой стороны, отношение высот $\frac{AA_{1}}{C_{1}C}$ равно отношению сторон $\frac{AB}{BC}$, которое по теореме синусов тоже равно $\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$. Отсюда следует утверждение задачи
