Внутри треугольника $ABC$ отмечена такая точка $M$, что $AM=MB$, $\angle MBA=10^{\circ}$, $\angle MBC=20^{\circ}$ и $\angle MAC=40^{\circ}$. Найдите угол $MCA$
Подробнее
Сторона $AD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна 5. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найдите сторону $BC$
Подробнее
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ - центр его вписанной окружности, $P$ - такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ - точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. Точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A'B'C'$, лежит внутри треугольника $ABC$
Подробнее
Существует ли четырёхугольник, отличный от прямоугольника, у которого есть три равных угла
Подробнее
В равносторонний треугольник вписаны две касающиеся окружности (см. рисунок). Найдите угол $KLM$, где $K$, $L$ и $M$ - точки касания
Подробнее
В полукруг вписан квадрат площади 49, к которому примыкает ещё один квадрат, одна из вершин которого лежит на полуокружности (см. рисунок). Найдите площадь второго квадрата
Подробнее
В окружности с центром $O$ проведена хорда $AB$, на которой отмечена точка $C$. Через точку $C$ проведена прямая, перпендикулярная $OC$. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекают эту прямую в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $C$ - середина отрезка $PQ$
Подробнее
Можно ли разрезать квадрат на две части и сложить из них равносторонний шестиугольник
Подробнее
Один параллелограмм лежит внутри другого. Может ли сумма диагоналей внутреннего быть больше суммы диагоналей внешнего
Подробнее
Два правильных шестиугольника с отношением сторон $1:2$ расположены так, как показано на рисунке. Найдите $AN$, если $CL=6$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $120^{\circ}$, $M$ - середина стороны $AB$. На сторонах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=PQ=QB$. Найдите угол $PMQ$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ - медиана, точка $H$ - ортоцентр, точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на прямую $BM$. Докажите, что $BM\cdot MP=AM^{2}$
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$. На диагонали $BD$ выбраны такие точки $M$ и $N$ так, что $AN\parallel BC$ и $CM\parallel AB$. На сторонах $AD$ и $CD$ соответственно выбраны точки $X$ и $Y$ так, что $\angle XNB=\angle YMB=90^{\circ}$. Докажите, что отрезок $AC$ равен полупериметру треугольника $BXY$
Подробнее
В трапеции $ABCD$ точка $M$ - середина боковой стороны $AB$, $AD=2BC$. Докажите, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $CM$
Подробнее
