Доказать, что при любом натуральном n число
$5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}$
делиться на 11
Подробнее
Ð азложить на множители многочлен $n^{5}+n+1$
Подробнее
Вычислить сумму
$\frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$
Подробнее
Доказать, что
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$
Подробнее
Доказать, что при любом натуральном значении n $(n \geq 1)$ число $4^{n}+15n-1$ делится на 9
Подробнее
Доказать, что
$lg(n+1)>\frac{lg1+lg2+\cdots+lgn}{n}$
Подробнее
Известно, что число n является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^{2}$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов,
но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, ÐБВШГÐБ - слово, а ÐБВ,Ш, ШГÐБ - его подслова.
Подробнее
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей
у Пети?
Подробнее
Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного—ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит
теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)
Подробнее
Докажите, что уравнение $x^{2} +y^{2} +z^{2} =x^{3} +y^{3} +z^{3}$ имеет бесконечное число решений в целых числах x, y, z.
Подробнее
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Подробнее
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Подробнее
Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Подробнее
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Подробнее