Пусть
$a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}, n \in \mathbf{N}$.
Найти $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$.
Подробнее
В последовательности положительных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$ каждый из членов $a_{n} (n \in \mathbf{N})$ равен либо $a_{n-1}/2$, либо $\sqrt{a_{n-1}}$. Может ли эта последовательность иметь предел, принадлежащий интервалу $(0; 1)$?
Подробнее
Пусть $f: [0; + \infty) \rightarrow [0; + \infty)$ - непрерывная функция. Доказать, что
а) если $lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty$, то $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty$;
б) результат пункта а) не верен для функции $f: (0; + \infty) \rightarrow (0; + \infty)$.
Подробнее
Доказать, что не существует непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, обладающей следующим свойством: число $f(x)$ рационально при тех и только тех значениях $x \in \mathbf{R}$, при которых число $f(x + 1)$ иррационально.
Подробнее
Существует ли не равная константе функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенству
$(f(x) – f(y))^{2} \leq |x - y|^{3}$?
Подробнее
Пусть непрерывная функция
$f: [0;1] \rightarrow [0; 1]$
дифференцируема на интервале $(0; 1)$, причем $f(0) = 0, f(1) = 1$, Доказать, что существуют такие числа $a, b \in (0; 1)$, что
$a \neq b$ и $f^{\prime}(a)f^{\prime}(b) = 1$.
Подробнее
Пусть функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ определена следующим образом: $f(x) = 0$, если $x$ иррационально; $f(p/q) = 1/q^{3}$, если $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$ и дробь $p/q$ несократима. Доказать, что эта функция дифференцируема в каждой точке $x = \sqrt{k}$, где $k$ - натуральное число, не являющееся квадратом целого числа.
Подробнее
Найти предел
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + 2^{n} + \cdots + n^{n}}{n^{n}}$
Подробнее
Последовательность $\{x_{n} \} \subset \mathbf{R}$ имеет конечный предел $a \in \mathbf{R}$. Доказать, что
$\bigcap_{\alpha > 0} \bigcup_{\beta > 0} \bigcap_{n > \beta}(x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) = \{ a \}$.
Подробнее
Дана последовательность $a_{0} = 1, a_{n+1} = \sum_{i=0}^{n}a_{i}a_{n-i} (n \geq 0)$. Выразить в явном виде $a_{n}$ через $n$.
Подробнее
а) Найти предел последовательности $\{ x_{n} \}$, где
$x_{1} = \sqrt{9}, x_{2} = \sqrt{a + \sqrt{a}}, x_{3} = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a}}}, \cdots, a \geq 1$.
б) Доказать, что последовательность вида
$x_{n} = \sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \cdots + \sqrt{a_{n}}}}, a_{i} > 1$,
сходится, если
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} ln(ln a_{n}) < ln 2$.
Подробнее
Последовательность $\{ a_{n} \}$ задана условием $a_{n} = a_{n-1}(a_{n-1} - 1)$. При каких $a_{1}$ она сходится?
Подробнее
Последовательность $\{ x_{n} \}$ задана следующим образом: $x_{1} = a, x_{n+1} = (2x_{n}^{3}) / (3x_{n}^{2}-1)$ при $n \geq 1$. Найти все $a$, при которых последовательность $\{ x_{n} \}$ определена и имеет конечный предел.
Подробнее
Пусть $c_{0} > 0, c_{1} > 0$ и $c_{n+1} = \sqrt{c_{n}} + \sqrt{c_{n-1}}$ при $n \geq 1$. Доказать, что последовательность $\{ c_{n} \}$ сходится, и найти ее предел.
Подробнее
Доказать, что последовательность $\{ x_{n} \}$, заданная условием $x_{n+1} = x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{n^{2}}$ при $n \geq 1$, где $0 < x_{1} < 1$, ограничена.
Подробнее
