Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16431
2026-02-19 
Окружности $s_{1}$ и $s_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_{1}$ и $P_{2}$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_{1}A\cdot AP_{2}$ принимает наибольшее значение
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - проекции точки $A$ на прямые $BP_{1}$ и $BP_{2}$. Углы $AP_{1}B$ и $AP_{2}B$ не зависят от выбора прямой. Обозначим их через $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Тогда
$AP_{1}\cdot AP_{2}=\frac{AX}{\sin\alpha}\cdot\frac{AY}{\sin\beta}=\frac{AX\cdot AY}{\sin\alpha\sin\beta},$
поэтому $BP_{1}\cdot BP_{2}$ и $AX\cdot AY$ принимают наибольшие значения одновременно.
Поскольку точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $AB$, угол $XAY$, а значит, и длина отрезка $XY$ постоянны. Кроме того,
$\angle XAY=180^{\circ}-\angle XBY,$
поэтому величина угла $XAY$ тоже постоянна. Поскольку
$S_{\Delta XAY}=\frac{1}{2}AX\cdot AY\sin\angle XAY=\frac{1}{2}XY\cdot h,$
где $h$ - высота треугольника $XAY$, проведённая из вершины $A$, то
$AX\cdot AY=\frac{h\cdot XY}{\sin\angle XAY}.$
Значит, $AX\cdot AY$ максимально, если $h$ максимально.
Следовательно, надо найти такое положение хорды $XY$, при котором расстояние от $A$ до неё максимально.
Заметим, что все рассматриваемые хорды $XY$ касаются фиксированной окружности $\omega$ с центром $O$ в середине $AB$. Построим одну такую хорду $X_{0}Y_{0}$, перпендикулярную диаметру $AB$. Она касается окружности $\omega$ в своей середине $M$. Докажем, что расстояние от точки $A$ до неё больше расстояния до любой другой такой хорды $XY$.
Пусть $E$ - точка касания хорды $XY$ с окружностью $\omega$, $AT$ - перпендикуляр к $XY$, а $OF$ - перпендикуляр к $AT$. Тогда
$AT=AF+FT=AF+OE=AF+OM\lt AO+OM=AM.$
Что требовалось доказать
Окружности $s_{1}$ и $s_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_{1}$ и $P_{2}$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_{1}A\cdot AP_{2}$ принимает наибольшее значение
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - проекции точки $A$ на прямые $BP_{1}$ и $BP_{2}$. Углы $AP_{1}B$ и $AP_{2}B$ не зависят от выбора прямой. Обозначим их через $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Тогда
$AP_{1}\cdot AP_{2}=\frac{AX}{\sin\alpha}\cdot\frac{AY}{\sin\beta}=\frac{AX\cdot AY}{\sin\alpha\sin\beta},$
поэтому $BP_{1}\cdot BP_{2}$ и $AX\cdot AY$ принимают наибольшие значения одновременно.
Поскольку точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $AB$, угол $XAY$, а значит, и длина отрезка $XY$ постоянны. Кроме того,
$\angle XAY=180^{\circ}-\angle XBY,$
поэтому величина угла $XAY$ тоже постоянна. Поскольку
$S_{\Delta XAY}=\frac{1}{2}AX\cdot AY\sin\angle XAY=\frac{1}{2}XY\cdot h,$
где $h$ - высота треугольника $XAY$, проведённая из вершины $A$, то
$AX\cdot AY=\frac{h\cdot XY}{\sin\angle XAY}.$
Значит, $AX\cdot AY$ максимально, если $h$ максимально.
Следовательно, надо найти такое положение хорды $XY$, при котором расстояние от $A$ до неё максимально.
Заметим, что все рассматриваемые хорды $XY$ касаются фиксированной окружности $\omega$ с центром $O$ в середине $AB$. Построим одну такую хорду $X_{0}Y_{0}$, перпендикулярную диаметру $AB$. Она касается окружности $\omega$ в своей середине $M$. Докажем, что расстояние от точки $A$ до неё больше расстояния до любой другой такой хорды $XY$.
Пусть $E$ - точка касания хорды $XY$ с окружностью $\omega$, $AT$ - перпендикуляр к $XY$, а $OF$ - перпендикуляр к $AT$. Тогда
$AT=AF+FT=AF+OE=AF+OM\lt AO+OM=AM.$
Что требовалось доказать
