ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В остроугольном треугольнике $ABC$ с углом $45^{\circ}$ при вершине $A$ проведены высоты $AD$, $BE$ и $CF$. Луч $EF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$. Оказалось, что прямые $AX$ и $DE$ параллельны. Найдите углы треугольника $ABC$


Решение:


Из точек $D$ и $E$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AB$ (аналогично, точки $E$ и $F$ лежат на окружности с диаметром $BC$). Тогда

$\angle EDC=180^{\circ}-\angle BDE=\angle BAE=45^{\circ},$

а т.к. $AX\parallel DE$, то

$\angle AXC=\angle EDC=45^{\circ}.$


В прямоугольном треугольнике $AFC$ острый угол при вершине $A$ равен $45^{\circ}$, поэтому

$\angle AFC=90^{\circ}=2\angle AXC,~AF=FC.$

Значит, точка $F$ - центр описанной окружности треугольника $AXC$ (см. задачу 6313).
Обозначим $\angle ACD=\gamma$. Тогда

$\angle BFE=\angle AFX=2\angle ACX=2\angle ACD=2\gamma.$

Из вписанного четырёхугольника $BCEF$ получаем, что

$180^{\circ}=\angle BFE+\angle BCE=2\gamma+\gamma=3\gamma.$

Следовательно,

$\angle ACB=\gamma=60^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.