Доказать, что при любом натуральном n число
$5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}$
делиться на 11
Подробнее
Вычислить сумму
$\frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$
Подробнее
Доказать, что
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$
Подробнее
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов,
но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, ÐБВШГÐБ - слово, а ÐБВ,Ш, ШГÐБ - его подслова.
Подробнее
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей
у Пети?
Подробнее
Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного—ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит
теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)
Подробнее
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Подробнее
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Подробнее
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Подробнее
Пусть $a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{7}$ - целые числа a $b_{1},b_{2}, \cdots ,b_{7}$ - те же самые числа, взятые в другом порядке. Доказать, что число
$( a_{1}-b_{1})( a_{2}-b_{2}) \cdots (a_{7}-b_{7})$
является четным.
Подробнее
Пусть $a,a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n}$ - произвольные целые числа. Верно ли, что целое число
$\sum_{k=0}^{n} (a^{2}+1)^{3k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или на $ a^{2}-a+1$) тогда и только тогда, когда число
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или соответственно на $a^{2}-a+1$)?
Подробнее
В бесконечной «треугольной» таблице
$a_{1,0}$
$a_{2,-1} a_{2,0} a_{2,1}$
$a_{3,-2} a_{3,-1} a_{3,0} a_{3,1} a_{3,2}$
$ a_{4,-3} a_{4,-2} a_{4,-1} a_{4,0} a_{4,1} a_{4,2} a_{4,3}$
$\cdots \cdots$
$a_{1,2} = 1$, а каждое число $a_{n,k}$, стоящее в n-й строке ($n \in \mathbf{N} , n> 1$) на k-м месте ($k \in \mathbf{Z}$), равно сумме $a_{n-1,k-1} + a_{n-1,k} + a_{n-1,k+1}$ трех чисел предыдущей строки (если какое-либо из этих чисел отсутствует в таблице, то в сумме оно заменяется нулем). Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, содержится хотя бы одно четное число.
Подробнее
Доказать, что для любого простого числа $p > 2$ числитель $m$ дроби
$\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{} + \cdots + + \frac{1}{p-1}$ ($m,n \in \mathbf{N}$)
делится на $p$.
Подробнее
Доказать, что только одна тройка натуральных чисел, больших единицы, обладает тем свойством, что произведение любых двух из этих чисел, увеличенное на 1, делится на третье.
Подробнее
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ число $19 \cdot 8^{n} + 17$ является составным.
Подробнее
