Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16425
2026-02-17 
Точка $I$ - центр вписанной в четырёхугольник $ABCD$ окружности. Докажите, что на луче $CI$ найдётся такая точка $K$, что $\angle KBI=\angle KDI=\angle BAI$
Решение:
Пусть углы при вершинах $A$, $B$, $C$, $D$ данного четырёхугольника равны $2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma$, $2\delta$ соответственно. Поскольку $I$ - точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника,
$\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma-\delta.$
Отложим на луче $CI$ отрезок $CK=\frac{CB\cdot CD}{CI}$. Тогда $\frac{CK}{CD}=\frac{CB}{CI}$, поэтому треугольники $CID$ и $CBK$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle CBK=\angle CID$. Тогда
$\beta+\angle KBI=\angle CBI+\angle KBI=\angle CBK=\angle CID=180^{\circ}-\gamma-\delta=\alpha+\beta,$
откуда $\angle KBI=\alpha=\angle BAI$. Аналогично, $\angle KDI=\angle BAI$
Точка $I$ - центр вписанной в четырёхугольник $ABCD$ окружности. Докажите, что на луче $CI$ найдётся такая точка $K$, что $\angle KBI=\angle KDI=\angle BAI$
Решение:
Пусть углы при вершинах $A$, $B$, $C$, $D$ данного четырёхугольника равны $2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma$, $2\delta$ соответственно. Поскольку $I$ - точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника,
$\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma-\delta.$
Отложим на луче $CI$ отрезок $CK=\frac{CB\cdot CD}{CI}$. Тогда $\frac{CK}{CD}=\frac{CB}{CI}$, поэтому треугольники $CID$ и $CBK$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle CBK=\angle CID$. Тогда
$\beta+\angle KBI=\angle CBI+\angle KBI=\angle CBK=\angle CID=180^{\circ}-\gamma-\delta=\alpha+\beta,$
откуда $\angle KBI=\alpha=\angle BAI$. Аналогично, $\angle KDI=\angle BAI$
