Прямая $l$ проходит через вершину $C$ ромба $ABCD$ и пересекает продолжения его сторон $AB$ и $AD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Прямые $DX$ и $BY$ вторично пересекают окружность, описанную около треугольника $AXY$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $PCQ$, касается прямой $l$
Подробнее
Точка $M$ - середина основания $AD$ трапеции $ABCD$, вписанной в окружность $\omega$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает отрезок $AM$ в точке $K$. Прямая $CM$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $N$. Из точки $B$ проведены касательные $BP$ и $BQ$ к описанной окружности треугольника $MKN$. Докажите, что прямые $BK$, $MN$ и $PQ$ пересекаются в одной точке
Подробнее
Точки $X$ и $Y$ - середины дуг $AB$ и $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $T$ лежит на стороне $AC$. Оказалось, что биссектрисы углов $ATB$ и $BTC$ проходят через точки $X$ и $Y$ соответственно. Чему может быть равен угол $B$ треугольника $ABX$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD$. На отрезке $AC$ выбрана точка $E$, а на луче $DE$ - точка $F$, причём $\angle ABC=\angle AED$ и $AF\parallel BC$. Докажите, что из отрезков $BD$, $DF$ и $AF$ можно составить треугольник, площадь которого не меньше половины площади треугольника $ABC$
Подробнее
Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Окружность с центром в точке $P$, описанная около треугольника $AOB$, пересекает прямую $AC$ в точках $A$ и $A_{1}$, прямую $BC$ - в точках $B$ и $B_{1}$, а также серединный перпендикуляр к отрезку $PC$ - в точках $D$ и $E$. Докажите, что точки $D$ и $E$ вместе с центрами описанных окружностей треугольников $A_{1}OC$ и $B_{1}OC$ лежат на одной окружности
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ - точка $E$. Точка $F$ отмечена так, что отрезки $EF$ и $BD$ пересекаются. Оказалось, что
$AB=BC,~BD=CD=CE=EF,~AC=BF.$
Докажите, что точки $C$, $D$, $F$ лежат на одной прямой
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE$ и $AD=AC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $X$, а на отрезке $AC$ - точка $Y$ так, что $DX=AY$. Докажите, что $EX+DY\geq AB$
Подробнее
В правильном 20-угольнике отмечены четыре последовательные вершины $A$, $B$, $C$ и $D$. Внутри него выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle BEC=2\angle CED$. Найдите угол $AEB$
Подробнее
На полуокружности с диаметром $AB$ выбраны точки $C$ и $D$ так, что хорды $AD$ и $BC$ пересекаются. Известно, что $BC=1$, $AD=2$. Докажите, что $\angle ABC\gt2\angle BAD$
Подробнее
Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$) отметили точку $K$. Точка $L$ - середина отрезка $BK$. Оказалось, что $\angle AKB=\angle ALC=90^{\circ}$, $AK=CL$. Найдите углы треугольника $ABC$
Подробнее
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD=CE$. На отрезке $BC$ выбрана точка $X$, а на отрезке $BD$ - точка $Y$, причём $CX=EX$ и $AY=DY$. Лучи $YA$ и $XE$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что середина отрезка $BZ$ лежит на прямой $AE$
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\angle ACB=2\angle CAB$. На продолжении диагонали $AC$ за точку $C$ отмечена точка $E$. Докажите, что $BC+BE\gt DE$
Подробнее
Докажите, что точки пересечения биссектрис противоположных углов трапеции вместе с концами каждого из её оснований лежат на одной окружности. Для определённости будем считать, что точки расположены так, как показано на рисунке
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. На касательной в точке $C$ к описанной окружности треугольника $BMC$ отмечена точка $D$ так, что $\angle CBD=90^{\circ}$. Отрезки $AD$ и $BM$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BDE$ лежит на прямой $AC$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AH$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Точка $I$ - центр вписанной окружности. Докажите, что $\angle BIH=\angle DIC$
Подробнее
