ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD\gt BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$


Решение:


Треугольник $BQC$ равнобедренный, а $BC\parallel AD$, поэтому

$\angle AQB=\angle CBQ=\angle BCQ=DQC.$


Пусть описанная окружность треугольника $AQC$ вторично пересекает прямую $AP$ в точке $X$, а описанная окружность треугольника $BQD$ вторично пересекает прямую $DP$ в точке $Y$. Четырёхугольники $AXCQ$ и $DYBQ$ вписанные, поэтому

$\angle AXC=180^{\circ}-\angle AQC=\angle CQD=\angle BQA=180^{\circ}-\angle BQD=\angle AXC=\angle BYD.$

Следовательно, точки $B$, $C$, $X$, $Y$, лежат на одной окружности (см. задачу 8103), а т.к.

$\angle XAD=\angle XBC=180^{\circ}-\angle XYC=180^{\circ}-\angle XYD,$

точки $A$, $D$, $X$, $Y$, тоже лежат на одной окружности. Тогда $PX\cdot PA=PY\cdot PD$ (см. задачу @H2636), т.е. степени точки $P$ относительно описанных окружностей треугольников $AQC$ и $BQD$ равны. Значит, точка $P$ лежит на радикальной оси этих окружностей. Общая точка $Q$ этих окружностей тоже лежит на их радикальной оси, поэтому прямая $PQ$ - их радикальная ось. Следовательно, линия центров этих окружностей перпендикулярна прямой $PQ$ (см. задачу @H6391). Что и требовалось доказать