По кругу написаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Над ними производится следующая операция: между одинаковыми цифрами пишется нуль, а между разными - единица, после чего первоначальные цифры стираются. Затем такая же операция производится над полученными цифрами и т. д. Доказать, что после нескольких таких операций невозможно получить 9 нулей.
Подробнее
На клетчатой бумаге отмечены произвольные $n$ клеток. Доказать, что из них всегда можно выбрать не менее чем $n/4$ клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
Подробнее
Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?
Подробнее
На прямой отмечены $n$ различных точек $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} (n > 4)$. Каждая из этих точек покрашена в один из четырех цветов, причем все четыре цвета присутствуют. Доказать, что существует отрезок прямой, содержащий ровно по одной точке двух цветов и по крайней мере по одной точке двух оставшихся цветов.
Подробнее
На плоскости дано множество M, состоящее из $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждому отрезку с концами из М поставлено в соответствие либо число +1, либо число - 1, причем число отрезков, которым соответствует число - 1, равно $m$. Треугольник с вершинами из М назовем отрицательным, если произведение трех чисел, соответствующих его сторонам, равно - 1. Доказать, что число отрицательных треугольников имеет ту же четность, что и произведение $nm$.
Подробнее
На кольцевой дороге расположены $n$ заправочных станций, содержащие вместе такое количество бензина, которого хватает для поездки одного автомобиля по всему кругу ровно один раз. Доказать, что автомобиль с пустым баком (неограниченной вместимости) может начать движение с одной из заправочных станций (предварительно заправившись на ней) и совершить полную поездку по кругу.
Подробнее
На шахматной доске размером $8 \times 8$ стоят 8 белых фишек на первой горизонтали и 8 черных - на восьмой. Игроки по очереди (начинают белые) делают ходы, состоящие в перемещении одной из своих фишек по вертикали на одну или несколько клеток вперед или назад. Запрещается снимать фишки с доски, ставить фишку на клетку, занятую фишкой противника, или перепрыгивать через нее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Доказать, что черные могут ходить так, чтобы наверняка выиграть.
Подробнее
Прямоугольная полоса размером $1 \times n (n \geq 4)$ составлена из единичных полей, занумерованных числами $1, 2, \cdots, n$. На полях с номерами $n – 2, n - 1, n$ стоит по одной фишке. Двое играют в следующую игру: каждый игрок своим ходом может перенести любую фишку на любое свободное поле с меньшим номером. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Доказать, что начинающий может ходить так, чтобы наверняка выиграть.
Подробнее
«Дельфин» - фигура, которая ходит на одно поле вверх, вправо или по диагонали налево вниз, как показано на рис. Может ли «дельфин», начиная из левого нижнего угла доски размером $8 \times 8$, обойти всю эту доску, побывав в каждой клетке ровно по одному разу?
Подробнее
На бесконечной во все стороны клетчатой доске, на которой первоначально расставлены фишки, заполняющие в точности прямоугольник размер $3k \times n$, происходит игра по следующим правилам: любой фишкой можно перепрыгнуть через любую соседнюю (по вертикали или по горизонтали) фишку, за которой следует незанятая клетка, после чего фишка, через которую перепрыгнули, должна быть убрана с доски. Доказать, что на доске никогда не останется ровно одна
Подробнее
Пусть $A = (a_{1}; \cdots; a_{m})$ - набор из $m = 2^{n} (n \in \mathbf{N})$ чисел $a_{i} \in \{1; - 1 \}, i = 1, 2, \cdots, m$. Операция S определяется формулой
$S(A) = (a_{1}a_{2}; a_{2}a_{3}; \cdots ; a_{m}a_{1})$.
Доказать, что для любого набора $A$ в последовательности $A, S(A), S(S(A)), \cdots$ имеется набор из $m$ единиц.
Подробнее
Доказать, что квадратную доску размером $2n \times 2n$, где $n$ не делится на 3, из которой удалена одна произвольная клетка, можно покрыть правильными тримино. (Правильное тримино - это квадрат размером $2 \times 2$, из которого удалена одна клетка.)
Подробнее
а) Пусть каждая клетка прямоугольной доски размером $4 \times 7$ окрашена в белый или черный цвет. Доказать, что на доске обязательно найдется прямоугольник, образованный горизонтальными и вертикальными линиями доски, все четыре угловые клетки которого окрашены в одинаковый цвет.
б) Привести пример раскраски прямоугольной доски размером $4 \times 6$, для которой указанного в п. а) прямоугольника не существует.
Подробнее
На плоскости с прямоугольной системой координат рассматривается множество М точек $(x, y)$, где $x, y \in \mathbf{N}$, причем $x \leq 12, y \leq 12$. Каждая из этих 144 точек окрашена либо в красный, либо в белый, либо в синий цвет. Доказать, что существует прямоугольник (со сторонами, параллельными осям), все вершины которого принадлежат множеству М и одинаково окрашены.
Подробнее
На координатной плоскости отмечены $n \geq 3$ точек с целочисленными координатами так, что любые три из них образуют треугольник, медианы которого не пересекаются в точке с целочисленными координатами. Найти наибольшее число $n$, при котором это возможно.
б) В пространстве отмечены 37 различных точек с целочисленными координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что из них можно выбрать такие 3 точки, что координаты точки пересечения медиан образованного ими треугольника являются целыми числами.
Подробнее
