Точка $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$ в точке $X$, а точка $A'$ диаметрально противоположна точке $A$ на описанной окружности этого треугольника. На отрезках $I_{a}X$, $BA'$, $CA'$ выбраны точки $Y$, $Z$, $T$ соответственно таким образом, что $I_{a}Y=BZ=CT=r$, где $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности
Подробнее
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что треугольник $BCE$ равнобедренный
Подробнее
Из точки $O$ выходят лучи $l$, $l_{1}$, $l_{2}$, угол между $l$ и $l_{2}$ острый, луч $l_{1}$ лежит внутри этого угла. На луче $l$ лежит фиксированная точка $F$ и произвольная точка $L$. Через точки $F$ и $L$ проходят окружность, касающаяся луча $l_{1}$ в точке $L_{1}$, и окружность, касающаяся луча $l_{2}$ в точке $L_{2}$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $F$, $L_{1}$ и $L_{2}$, проходит через некоторую точку, отличную от точки $F$ и не зависящую от выбора точки $L$
Подробнее
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BB_{1}$. Точка $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ пересекает окружность, описанную около треугольника $AIC$, в точках $D$ и $E$. Точка $F$ на отрезке $B_{1}C$ выбрана так, что $AB_{1}=CF_{1}$. Докажите, что точки $B$, $D$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности
Подробнее
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность с центром в точке $O_{b}$ проходит через точки $A$, $C_{1}$ и середину отрезка $BH$. Окружность с центром в точке $O_{c}$ проходит через точки $A$, $B_{1}$ и середину отрезка $CH$. Докажите, что $B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\gt\frac{1}{4}BC$
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, на отрезке $AD$ выбрана точка $E$, а на отрезке $BD$ - точка $F$, причём $AE=1$, $BF=DE=2$ и $CD=3$. Оказалось, что $AB=CE$. Найдите длину отрезка $AF$
Подробнее
Биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $D$. На стороне $BC$ отмечена такая точка $E$, что $\angle ADC=\angle AEC$. Докажите, что $DC+DE\gt AB$
Подробнее
На стороне $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $P$. Оказалось, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ касаются прямой $AD$. При этом $\angle BAP=\angle PDC=30^{\circ}$. Найдите угол $APD$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AK$. На стороне $AC$ отмечена точка $N$ так, что $\angle AKN=90^{\circ}$. Докажите, что на плоскости найдётся такая точка $L$, что $AB=AL$, $KL=KB$, $NL=NC$
Подробнее
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ нашлись такие точки $E$ и $F$, что треугольники $ABE$ и $CDF$ равносторонние. Докажите, что сумма периметров треугольников $ABF$ и $CDE$ не меньше, чем периметр четырёхугольника $ABCD$
Подробнее
На сторону $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$, и на отрезке $AH$ отмечена точка $D$ так, что $AD=BH$. Докажите, что расстояние между серединами отрезков $BH$ и $CD$ вдвое меньше $AC$
Подробнее
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точка $A'$ такова, что $\angle ABA'=\angle ADA'=90^{\circ}$. Аналогично определяются точки $B'$, $C'$ и $D'$ При этом $A'$ и $C'$ лежат внутри четырёхугольника $ABCD$, а $B$ и $D$ - внутри выпуклого четырёхугольника $A'B'C'D'$. Докажите, что площади четырёхугольников $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны
Подробнее
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A=3\angle B$. На стороне $AB$ отмечена точка $C_{1}$, а на стороне $BC$ - точка $A_{1}$ так, что $AA_{1}=AC=CC_{1}$. Докажите, что $3A_{1}C_{1}\gt BD$
Подробнее
Равнобедренная трапеция $ABCD$, в которой основание $AD$ вдвое больше боковой стороны $AB$, вписана в окружность $\omega$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$ так, что $AC\parallel DE$ и $BD\parallel AF$. Отрезок $BE$ пересекает отрезки $AC$ и $AF$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BCX$ и $EFY$ касаются
Подробнее
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$, $E_{1}$ таковы, что
$AA_{1}\perp EB,~BB_{1}\perp AC,~CC_{1}\perp BD,~DD_{1}\perp CE,~EE_{1}\perp DA.$
Кроме того,
$AE_{1}=AB_{1},~BC_{1}=BA_{1},~CB_{1}=CD_{1},~DC_{1}=DE_{1}.$
Докажите, что тогда $ED_{1}=EA_{1}$
Подробнее
