ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причём $AD=AE=EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$ так, что $ED=CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности


Решение:


Треугольник $AED$ равнобедренный, поэтому и треугольник $BCE$ равнобедренный, а т.к.

$AD=BE,~DF=CE=CB~\mbox{и}~\angle ADF=\angle ADC=\angle ABC=\angle EBC,$

то этот треугольник равен треугольнику $AFD$. Значит, $PF\parallel AD$ как биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника $AFD$ (см. задачу 4834)

$\angle PFD=180^{\circ}-\angle ADF=\angle AEF,$

поэтому прямые $AE$ и $PF$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку $FE$, а значит, относительно серединного перпендикуляра к хорде $CD$, т.е. относительно диаметра окружности. Тогда точки $P$ и $A$ также симметричны относительно диаметра окружности. Таким образом, $AEFP$ - равнобедренная трапеция. Следовательно, около неё можно описать окружность. Отсюда получаем утверждение задачи