Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Точка $M$ лежит на дуге $BC$ (не содержащей $A$); точка $M_{1}$ симметрична точке $M$ относительно прямой $BC$. Докажите, что отрезок $AM_{1}$ делится пополам окружностью, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$
Подробнее
Пусть $I$ - центр вписанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$ в точках соответственно $E$ и $F$. Прямые, проходящие через $E$ и $F$ параллельно $AI$, пересекают прямые $BI$ и $CI$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $IPQ$, лежит на прямой $BC$
Подробнее
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $\angle A=60^{\circ}$, $AB\lt AC$; медиана $AM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ вторично в точке $K$; $L$ - середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точку $A$; прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EHL=\angle ABK$
Подробнее
Дана окружность $\Omega$, касающаяся стороны $AB$ угла $BAC$ и лежащая вне этого угла. Рассматриваются окружности $\omega$, вписанные в угол $BAC$. Общая внутренняя касательная к окружностям $\Omega$ и $\omega$, отличная от $AB$, касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть $L$ - точка касания окружности $\omega$ и прямой $AC$. Докажите, что все такие прямые $KL$ проходят через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ с углом $60^{\circ}$ при вершине $B$ точка $O$ - центр описанной окружности. Биссектриса $BL$ треугольника пересекает описанную окружность в точке $W$. Докажите, что прямая $OW$ касается окружности, описанной около треугольника $BOL$
Подробнее
Точки $X_{1}$ и $X_{2}$ движутся по фиксированным окружностям с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что лучи $O_{1}X_{1}$ и $O_{2}X_{2}$ сонаправлены. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $O_{1}X_{2}$ и $O_{2}X_{1}$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ прямая $OI$, проходящая через центры $O$ и $I$ соответственно описанной и вписанной окружностей, параллельна стороне $BC$. Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника $ABC$ лежит на прямой $MI$, где $M$ - середина стороны $BC$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ с ортоцентром $H$ прямая $AH$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_{1}$. Пусть $\Gamma$ - окружность с центром на стороне $AB$, касающаяся прямой $AA_{1}$ в точке $H$. Докажите, что окружность $\Gamma$ касается описанной окружности треугольника $AMA_{1}$, где $M$ - середина $AC$
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Для точки $P$, лежащей на стороне $AB$, отметили такую точку $Q$ на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, что середина $N$ отрезка $PQ$ лежит на стороне $BC$. Для точки $R$, лежащей на стороне $AC$, отметили такую точку $S$ на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, что середина $M$ отрезка $RS$ лежит на стороне $BC$. Докажите, что $\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}$
Подробнее
Точка $H$ - ортоцентр непрямоугольного треугольника $ABC$, точки $O$, $A'$, $B'$ и $C'$ - центры описанных окружностей треугольников $ABC$, $HBC$, $HAC$ и $HAB$ соответственно, а $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний
Подробнее
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямые $AA_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ пересекаются в точке $X$, а прямая, проходящая через точку $X$ перпендикулярно $AC$, пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YA_{1}$ проходит через середину отрезка $BH$
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A\lt\angle C$. Точка $E$ лежит на биссектрисе угла $B$, причём $\angle EAB=\angle ACB$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, причём $BD=AB$. Докажите, что середина $M$ стороны $AC$ лежит на прямой $DE$
Подробнее
Окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ касаются внутренним образом окружности $\Omega$ в различных точках $A$ и $B$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ касается их в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ пересекаются на окружности $\Omega$
Подробнее
Докажите, что стороны педального треугольника любой внутренней точки $P$ равностороннего треугольника пропорциональны расстояниям до противоположных вершин исходного треугольника
Подробнее
Каждая из трёх равных окружностей радиуса $r$ проходит через центры двух других. Найдите площадь пересечения трёх кругов, ограниченных этими окружностями
Подробнее
