Пусть
$a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}, n \in \mathbf{N}$.
Найти $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$.
Подробнее
В последовательности положительных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$ каждый из членов $a_{n} (n \in \mathbf{N})$ равен либо $a_{n-1}/2$, либо $\sqrt{a_{n-1}}$. Может ли эта последовательность иметь предел, принадлежащий интервалу $(0; 1)$?
Подробнее
Пусть $f: [0; + \infty) \rightarrow [0; + \infty)$ - непрерывная функция. Доказать, что
а) если $lim_{x \rightarrow + \infty} f(f(x)) = + \infty$, то $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty$;
б) результат пункта а) не верен для функции $f: (0; + \infty) \rightarrow (0; + \infty)$.
Подробнее
Доказать, что не существует непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, обладающей следующим свойством: число $f(x)$ рационально при тех и только тех значениях $x \in \mathbf{R}$, при которых число $f(x + 1)$ иррационально.
Подробнее
Существует ли не равная константе функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенству
$(f(x) – f(y))^{2} \leq |x - y|^{3}$?
Подробнее
Пусть непрерывная функция
$f: [0;1] \rightarrow [0; 1]$
дифференцируема на интервале $(0; 1)$, причем $f(0) = 0, f(1) = 1$, Доказать, что существуют такие числа $a, b \in (0; 1)$, что
$a \neq b$ и $f^{\prime}(a)f^{\prime}(b) = 1$.
Подробнее
Пусть функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ определена следующим образом: $f(x) = 0$, если $x$ иррационально; $f(p/q) = 1/q^{3}$, если $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$ и дробь $p/q$ несократима. Доказать, что эта функция дифференцируема в каждой точке $x = \sqrt{k}$, где $k$ - натуральное число, не являющееся квадратом целого числа.
Подробнее
Каждая из двух урн содержит белые и черные шары, причем общее число шаров в обеих урнах равно 25. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Зная, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54, найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся черными.
Подробнее
Учителю и учащимся некоторого класса задаются вопросы. Вероятность того, что ответ учителя будет правильным, равна $\alpha$, а вероятность правильного ответа учащегося равна $\beta$ или $\gamma$ в зависимости оттого, кто отвечал - мальчик или девочка соответственно. Вероятность того, что ответ случайно выбранного учащегося совпадет с ответом учителя, равна 1/2. Найти отношение числа мальчиков к числу девочек в классе.
Подробнее
Из вершин правильного $n$-угольника $(n \geq 6)$ наугад выбираются две тройки различных точек. Какова вероятность того, что два треугольника, вершинами которых являются выбранные тройки, не пересекаются?
Подробнее
Вокруг правильного $2n$-угольника описана окружность. Тройка различных его вершин называется односторонней, если существует полуокружность, на которой лежат эти вершины (концы полуокружности принадлежат ей). Какова вероятность того, что случайно выбранная тройка вершин окажется односторонней?
Подробнее
В урне находятся $n$ белых и $m$ черных шаров, рядом с урной - ящик с достаточно большим количеством черных шаров. Производится следующая операция: из урны наугад вынимается пара шаров; если они оказались одноцветными, то черный шар из ящика перекладывается в урну; если же они оказались разноцветными, то белый шар возвращается в урну. Операция повторяется до тех пор, пока в урне останется один шар. С какой вероятностью он будет белым?
Подробнее
Игрок А бросает монету $n+1$ раз, а игрок В - $n$ раз. Какова вероятность того, что в итоге у игрока А выпадет больше «орлов», чем у игрока В?
Подробнее
Строка $(i_{1}; i_{2}; \cdots; i_{n})$ составлена из $n > 3$ первых натуральных чисел, расположенных в случайном порядке. Какова вероятность того, что при всех $k = 1, 2, \cdots, n$ справедливо неравенство $i_{k} \geq k – 3$?
Подробнее
Колода из $n$ различных игральных карт, расположенных в случайном порядке, содержит три туза. Верхние карты колоды одна за другой снимаются, пока не будет снят второй туз. Доказать, что среднее число снятых карт равно $(n + 1)/2$.
Подробнее
