Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16427
2026-02-19 
Точка $M$ - середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности соответственно $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются в точке $E$. Пусть прямая $ED$ пересекает окружность $\omega_{1}$ в точке $F$, а прямая $FB$ пересекает $AD$ в точке $G$. Докажите, что $GM$ - биссектриса угла $BGD$
Решение:
Пусть окружность $\omega_{1}$, описанная около треугольника $BCM$, пересекает прямую $AB$ в точке $E'$. Тогда
$\angle BE'M=180^{\circ}-\angle BCM=180^{\circ}-\angle BCD=\angle ADC=\angle ADM.$
Значит, точка $E'$ лежит на описанной окружности $\omega_{2}$ треугольника $AMD$, и поэтому окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются на прямой $AB$, и точка $E'$ совпадает с $E$.
Кроме того, из точки $B$ отрезок $CE$ виден под прямым углом, поэтому $CE$ - диаметр окружности $\omega_{1}$. Значит, $\angle CFD=\angle CFE=90^{\circ}$. Отрезок $FM$ - медиана прямоугольного треугольника $CFD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому $FM=CM=DM$.
Точки $G$, $F$, $M$ и $D$ лежат на одной окружности, т.к.
$\angle BGA=\angle GBC=\angle FBC=180^{\circ}-\angle CMF=\angle FMD=180^{\circ}-\angle DFG.$
Около четырёхугольника $DGFM$ можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы $FGM$ и $DGM$ опираются на равные хорды $FM$ и $DM$. Значит,
$\angle BGM=\angle FGM=\angle DGM.$
Следовательно, $GM$ - биссектриса угла $BGD$. Что и требовалось доказать
Точка $M$ - середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности соответственно $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются в точке $E$. Пусть прямая $ED$ пересекает окружность $\omega_{1}$ в точке $F$, а прямая $FB$ пересекает $AD$ в точке $G$. Докажите, что $GM$ - биссектриса угла $BGD$
Решение:
Пусть окружность $\omega_{1}$, описанная около треугольника $BCM$, пересекает прямую $AB$ в точке $E'$. Тогда
$\angle BE'M=180^{\circ}-\angle BCM=180^{\circ}-\angle BCD=\angle ADC=\angle ADM.$
Значит, точка $E'$ лежит на описанной окружности $\omega_{2}$ треугольника $AMD$, и поэтому окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются на прямой $AB$, и точка $E'$ совпадает с $E$.
Кроме того, из точки $B$ отрезок $CE$ виден под прямым углом, поэтому $CE$ - диаметр окружности $\omega_{1}$. Значит, $\angle CFD=\angle CFE=90^{\circ}$. Отрезок $FM$ - медиана прямоугольного треугольника $CFD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому $FM=CM=DM$.
Точки $G$, $F$, $M$ и $D$ лежат на одной окружности, т.к.
$\angle BGA=\angle GBC=\angle FBC=180^{\circ}-\angle CMF=\angle FMD=180^{\circ}-\angle DFG.$
Около четырёхугольника $DGFM$ можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы $FGM$ и $DGM$ опираются на равные хорды $FM$ и $DM$. Значит,
$\angle BGM=\angle FGM=\angle DGM.$
Следовательно, $GM$ - биссектриса угла $BGD$. Что и требовалось доказать
