Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Подробнее
В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую - медиана, а через третью - биссектриса. Доказать, что если проведенные линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.
Подробнее
Доказать, что если заданы положительные числа $a, b, c \in \mathbf{R}$ и для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ существует треугольник со сторонами $a^{n}, b^{n}, c^{n}$ соответственно, то все эти треугольники равнобедренные.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существуют число $m \in \mathbf{N}$, треугольник ABC со сторонами АB = 33, AС = 21, ВС = n и точки D,Е на сторонах АВ, АС соответственно, удовлетворяющие условиям AD = DE = EС = n.
Подробнее
Найти все тройки чисел $a, b, c \in \mathbf{N}$ являющихся длинами сторон треугольника с диаметром описанной окружности, равным 6,25.
Подробнее
Треугольники АBС и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию
$\sin \angle A + \sin \angle B + \sin \angle C = \sin \angle D + \sin \angle E + \sin \angle F$.
Подробнее
Прямая делит треугольник на две части равных площадей и периметров. Доказать, что центр вписанной окружности лежит на этой прямой.
Подробнее
В треугольнике АBС на сторонах АВ, АС и ВС взяты точки $С^{\prime}, B^{\prime}$ и $A^{\prime}$ так, что отрезки $AA^{\prime}, BB^{\prime}$ и $CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке. Точки $A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$ и $C^{\prime \prime}$ симметричны точкам A,B и C соответственно
относительно точек $A^{\prime}, B^{\prime}$ и $C^{\prime}$. Доказать, что
$S_{A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}} = 3 S_{ABC} + 4 S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$.
Подробнее
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. Доказать, что
$AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} = 3 (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2})$.
Подробнее
Доказать, что если центр тяжести треугольника совпадает с центром тяжести его границы, то треугольник равносторонний.
Подробнее
Пусть O - центр окружности, описанной около треугольника AВС, D - середина стороны AB, а Е - точка пересечения медиан треугольника ACD. Доказать, что если AB=AС, то $OE \perp CD$.
Подробнее
Найти все пары положительных чисел $a, b \in \mathbf{R}$, для которых существуют прямоугольный треугольник CDE и точки A, В на его гипотенузе DE, удовлетворяющие условиям $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE}$ и $AC = a, BC = b$.
Подробнее
Найти хотя бы один прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, каждый угол которого можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки.
Подробнее
Перпендикуляры, проведенные через середины сторон АВ и АС треугольника AВС, пересекают прямую ВС в точках X и Y соответственно. Доказать, что равенство ВС = ХУ: а) выполнено, если
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C = 3$;
б) может также выполняться и при условии
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \neq 3$;
найти множество $M \subset \mathbf{R}$, для которого указанное равенство равносильно условию
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \in M$.
Подробнее
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О, а на отрезках ОВ и ОС выбраны точки $B_{1}$ и $C_{1}$, для которых
$\angle AB_{1}C = \angle AC_{1}B = 90^{\circ}$.
Доказать, что $AB_{1} = AC_{1}$.
Подробнее
