Точки $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$ и $M$ расположены на одной окружности. Докажите, что произведение расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{2}$ и $M_{3}M_{4}$ равно произведению расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{3}$ и $M_{2}M_{4}$

Подробнее

Касательная в точке $A$ к описанной окружности треугольника $ABC$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$ (см. рис.), касательная в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $Y$, касательная в точке $C$ пересекает прямую $AB$ а точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$ лежат на одной прямой

Подробнее

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Точка $D$ на продолжении стороны $BC$ отмечена так, что $AD$ - касательная к окружности $\Gamma_{1}$. Окружность $\Gamma_{2}$ проходит через точки $A$, $D$ и касается прямой $BD$ в точке $D$. Точка $E$ - отличная от $A$ точка пересечения окружностей $\Gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. Докажите, что $EB:EC=AB^{3}:AC^{3}$

Подробнее

Вне треугольника $ABC$ построены равносторонние треугольники $A'BC$, $B'CA$ и $C'AB$. На отрезках $AA'$, $BB'$ и $CC'$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, причём

$\frac{AP}{AA'}+\frac{BQ}{BB'}+\frac{CR}{CC'}=1.$
Докажите, что треугольник $PQR$ равносторонний

Подробнее

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ вписан в окружность $\Gamma$. Точки $M$ и $N$ - середины катетов $AB$ и $AC$ соответственно, $P$ и $Q$ - точки пересечения прямой $MN$ с окружностью $\Gamma$, $D$ и $E$ - точки касания вписанной окружности треугольника $ABC$ с катетами $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности

Подробнее

В неравностороннем треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ равен $60^{\circ}$, $A_{1}$ - произвольная точка прямой $AB$, отличная от $A$ и $B$, $C$ - произвольная точка прямой $BC$, отличная от $B$ и $C$.
а) Докажите, что прямые Эйлера треугольников $ABC$ и $A'BC'$ параллельны или совпадают.
б) Для случая совпадения докажите, что описанные окружности всех таких треугольников $A'BC'$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в одной и той же точке

Подробнее

На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $C$ и $D$ соответственно. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки $C$ на прямые $DE$, $EA$, $AB$ и $BD$ лежат на одной окружности

Подробнее

Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть $r_{1}$, $r_{2}$ и $r_{3}$ - радиусы вписанных окружностей треугольников $BHC$, $AHC$ и $AHB$ соответственно, а $r_{a}$, $r_{b}$ и $r_{c}$ - радиусы вневписанных окружностей треугольника $ABC$, противоположных сторонам $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$ соответственно. Докажите, что

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{a}+r_{b}+r_{c}=a+b+c$.

Подробнее

Отрезок $AA'$ - диаметр окружности $C$ радиуса $r$. Две равных окружности $C_{1}$ и $C_{2}$ радиуса $a$ ($a\lt r$) с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются внутренним образом окружности $C$ в точках $A$ и $A'$ соответственно. Внутри одной из полуокружностей окружности $C$ расположены две касающиеся внешним образом окружности $C_{3}$ и $C_{4}$ радиусов $b$ и $c$ с центрами $O_{3}$ и $O_{4}$ соответственно, которые касаются внутренним образом окружности $C$ и внешним - окружностей $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно. Докажите, что:
а) $r=a+b+c$;
б) $O_{3}O_{4}\parallel AA'$

Подробнее

На сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AB\lt BC$) вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $BCFG$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно, $S$ - точка пересечения прямых $BN$ и $GM$. Оказалось, что точки $M$, $C$, $S$, $N$ лежат на одной окружности. Докажите, что $MD=MG$

Подробнее

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$ единичной площади. На стороне $AC$ отмечены точки $C_{1}$ и $C_{2}$, а на стороне $AB$ - точки $B_{1}$ и $B_{2}$, причём $AC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}C$ и $AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B$. Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечениями прямых $BC_{1}$, $BC_{2}$, $CB_{1}$ и $BC_{2}$ (см. рисунок)

Подробнее

Пусть $P$ и $Q$ - точки, лежащие внутри угла $BAC$ треугольника $ABC$, причём прямая $PQ$ - серединный перпендикуляр к стороне $BC$ и $\angle ABP+\angle ACQ=180^{\circ}$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAQ$

Подробнее

Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, в котором $\angle A\gt90^{\circ}$ и $AB\lt AC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $BC$ и $AO$ соответственно, а $D$ - точка пересечения прямой $MN$ со стороной $AC$. Известно, что $AD=\frac{AB+AC}{2}$. Найдите $\angle A$

Подробнее