В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ - параллелограмм и $BD=CX$, $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) на катете $BC$ отмечены такие точки $K$ и $L$, что $\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB$. На гипотенузе $AB$ отмечена такая точка $M$, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам
Подробнее
$AH$ - высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). $HK$ - высота треугольника $AHB$. Оказалось, что $4HK=AB$. Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC$? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей
Подробнее
В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L$. Точка $M$ - середина стороны $CD$. Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через точку $L$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Оказалось, что угол $BLM$ прямой. Найдите отношение $\frac{BK}{KA}$
Подробнее
$CL$ - биссектриса треугольника $ABC$, $CLBK$ - параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK$. Докажите, что $AK\leq CL$
Подробнее
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$
Подробнее
Точки $L$ и $P$ - проекции вершины $A$ треугольника $ABC$ на биссектрисы его внешних углов при вершинах $B$ и $C$ соответственно; точки $N$ и $K$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; точки $Q$ и $M$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$, $Q$, $K$ и $L$ лежат на одной окружности
Подробнее
Точки $M$ и $N$ - середины равных сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. На продолжении отрезка $MN$ за точку $N$ отмечена точка $X$, а на отрезке $NX$ - точка $Y$ так, что $MN=XY$. Докажите, что $BY=CX$
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ равны. На стороне $AB$ отмечена точка $E$. Известно, что $AD=CD=BE$. Докажите, что $CE$ - биссектриса угла $BCD$
Подробнее
Окружность $\omega$ касается стороны $AC$ правильного треугольника $ABC$ в точке $D$, а его описанной окружности - в точке $E$, лежащей на дуге $BC$. Докажите, что из отрезков $AD$, $BE$ и $CD$ можно составить треугольник, у которого разность каких-то двух углов равна $60^{\circ}$
Подробнее
Точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно четырёхугольника $ABCD$. Отрезки $AM$, $DM$, $BN$ и $CN$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на семь частей (шесть из которых треугольники, а седьмая - четырёхугольник). Докажите, что если площади шести из этих частей - нечётные натуральные числа, то все эти шесть частей - треугольники
Подробнее
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Оказалось, что $\angle ABK=7^{\circ}$ и $\angle ABC=77^{\circ}$. Докажите, что $2AK+AC\gt BC$
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник $ABC$. На продолжениях основания $AC$ за точки $A$ и $C$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $F$. Известно, что $AD=BF$ и $CE=CF$. Докажите, что $BD+CF\gt EF$
Подробнее
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ таким образом, что $P$ находится внутри треугольника $AQB$, $PQ=QC$ и $\angle PAQ=\angle PBQ=30^{\circ}$. Найдите $\angle AQB$
Подробнее
На стороне $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ с острым углом $B$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что $BE+CE\lt AD$
Подробнее
