Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16402
2026-02-17 
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ нашлись такие точки $E$ и $F$, что треугольники $ABE$ и $CDF$ равносторонние. Докажите, что сумма периметров треугольников $ABF$ и $CDE$ не меньше, чем периметр четырёхугольника $ABCD$
Решение:
Построим правильный треугольник $BCX$ с той же стороны от прямой $BC$, что и сторона $AD$. Поскольку $\angle ABE=60^{\circ}=\angle CBX$, то $\angle ABX=\angle CBE$. Значит, треугольники $ABX$ и $BCE$ равны по двум сторонам и углу между ними, а потому $AX=CE$. Аналогично, $DX=BF$, и потому
$BF+CE=AX+DX\geq AD.$
Рассуждая аналогично, получим, что
$AF+DE\geq BC.$
Сложив два этих неравенства и добавив к обеим частям $AB+CD$, получим требуемое
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ нашлись такие точки $E$ и $F$, что треугольники $ABE$ и $CDF$ равносторонние. Докажите, что сумма периметров треугольников $ABF$ и $CDE$ не меньше, чем периметр четырёхугольника $ABCD$
Решение:
Построим правильный треугольник $BCX$ с той же стороны от прямой $BC$, что и сторона $AD$. Поскольку $\angle ABE=60^{\circ}=\angle CBX$, то $\angle ABX=\angle CBE$. Значит, треугольники $ABX$ и $BCE$ равны по двум сторонам и углу между ними, а потому $AX=CE$. Аналогично, $DX=BF$, и потому
$BF+CE=AX+DX\geq AD.$
Рассуждая аналогично, получим, что
$AF+DE\geq BC.$
Сложив два этих неравенства и добавив к обеим частям $AB+CD$, получим требуемое
