Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16403
2026-02-17 
На сторону $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$, и на отрезке $AH$ отмечена точка $D$ так, что $AD=BH$. Докажите, что расстояние между серединами отрезков $BH$ и $CD$ вдвое меньше $AC$
Решение:
Отметим точки $M$, $N$, $K$ - середины отрезков $BH$, $CD$, $AD$ соответственно. Отрезок $HN$ - медиана прямоугольного треугольника $CHD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому $HN=ND$ (см. задачу 4775), т.е. точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $HD$, а значит, и на серединном перпендикуляре к отрезку $MK$. Значит,
$MN=NK=\frac{1}{2}AC$
(последнее равенство следует из того, что $NK$ - средняя линия треугольника $ACD$). Что и требовалось доказать
На сторону $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$, и на отрезке $AH$ отмечена точка $D$ так, что $AD=BH$. Докажите, что расстояние между серединами отрезков $BH$ и $CD$ вдвое меньше $AC$
Решение:
Отметим точки $M$, $N$, $K$ - середины отрезков $BH$, $CD$, $AD$ соответственно. Отрезок $HN$ - медиана прямоугольного треугольника $CHD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому $HN=ND$ (см. задачу 4775), т.е. точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $HD$, а значит, и на серединном перпендикуляре к отрезку $MK$. Значит,
$MN=NK=\frac{1}{2}AC$
(последнее равенство следует из того, что $NK$ - средняя линия треугольника $ACD$). Что и требовалось доказать
