ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A=3\angle B$. На стороне $AB$ отмечена точка $C_{1}$, а на стороне $BC$ - точка $A_{1}$ так, что $AA_{1}=AC=CC_{1}$. Докажите, что $3A_{1}C_{1}\gt BD$


Решение:


Пусть $A_{1}'$ - точка, симметричная точке $A_{1}$ относительно прямой $AB$. Тогда $A_{1}C_{1}=A_{1}'C_{1}$ и $\angle A_{1}'BA=\angle ABC$. Кроме того,

$\angle AA_{1}'B=\angle AA_{1}B=180^{\circ}-\angle AA_{1}C=180^{\circ}-\angle ACA_{1}$

(последнее равенство верно в силу равнобедренности треугольника $CAA_{1}$). Следовательно, точка $A_{1}'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Аналогичные рассуждения повторим и для точки $C_{1}'$, симметричной $C_{1}$ относительно прямой $BC$. Таким образом, точки $A_{1}'$ и $C_{1}'$ лежат на этой окружности и

$\angle A_{1}'BC_{1}'=3\angle ABC=\angle DAB,$

откуда следует, что $BD=A_{1}'C_{1}'$ как хорды, на которые опираются равные вписанные углы.
По неравенству ломаной (обобщённое неравенство треугольника) получаем

$3A_{1}C_{1}=A_{1}'C_{1}+C_{1}A_{1}+A_{1}C_{1}'\geq A_{1}'C_{1}'=BD.$

Осталось объяснить, почему знак неравенства строгий.
Равенство возможно только в том случае, когда точки $A_{1}'$, $C_{1}$, $A_{1}$ и $C_{1}'$ лежат на одной прямой, но, в силу определения точек $A_{1}'$ и $C_{1}'$, это бы означало, что $A_{1}C_{1}\perp AB$ и $A_{1}C_{1}\perp BC$, что, очевидно, невозможно