На стороне $AC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону был построен квадрат с центром $F$. Затем всё стёрли, кроме точки $F$ и середин $N$, $K$ сторон $BC$, $AB$ соответственно. Восстановите треугольник
Подробнее
Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$. Радиусы описанных окружностей треугольников $PBC$, $PCA$ и $PAB$ равны соответственно $R_{a}$, $R_{b}$ и $R_{c}$ соответственно. Докажите, что $R_{a}R_{b}R_{c}\geq PA\cdot PB\cdot PC$
Подробнее
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$
Подробнее
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_{1}$ с центром $O$. Окружность $\omega_{2}$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$
Подробнее
На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$, а на отрезке $BD$ выбрана точка $E$, причём $\angle CED=90^{\circ}$. Известно, что $DE=1$, $AB=2$, $BE=3$ и $BC=4$. Докажите, что треугольник $ACD$ равнобедренный
Подробнее
В трапеции $ABCD$ основание $BC$ в два раза короче $AD$. Внутри трапеции отмечена такая точка $F$, что $AB=FB$. Докажите, что прямая, соединяющая точку $C$ с серединой отрезка $FD$, перпендикулярна $FA$
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом $C$, равным $108^{\circ}$, выбраны точки $P$ и $Q$ ($P$ между $A$ и $Q$) таким образом, что периметр треугольника $CPQ$ равен стороне $AB$. Оказалось, что центр описанной окружности остроугольного треугольника $ACQ$ лежит на описанной окружности треугольника $PCQ$. Найдите угол $PCQ$
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На основании $AC$ выбрана такая точка $D$, что $BC=CD$. Докажите, что можно сложить равнобедренный треугольник с боковой стороной $BK$ и основанием $BD$
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее - $EC$ или $AC$
Подробнее
$ABCD$ - выпуклый четырёхугольник, в котором $AB=7$, $BC=4$, $AD=DC$, $\angle ABD=\angle DBC$. Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB=90^{\circ}$. Найдите $AE$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE=EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше $36^{\circ}$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN\parallel AC$. Оказалось, что $NK=LN$. Найдите угол $ABC$
Подробнее
Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведённых из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$. Отрезки $PC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Точка $R$ - середина отрезка $AP$. Докажите, что существует фиксированная точка $X$, через которую прямая $RQ$ проходит при любом выборе точки $P
Подробнее
