Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16407
2026-02-17 
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$, $E_{1}$ таковы, что
$AA_{1}\perp EB,~BB_{1}\perp AC,~CC_{1}\perp BD,~DD_{1}\perp CE,~EE_{1}\perp DA.$
Кроме того,
$AE_{1}=AB_{1},~BC_{1}=BA_{1},~CB_{1}=CD_{1},~DC_{1}=DE_{1}.$
Докажите, что тогда $ED_{1}=EA_{1}$
Решение:
Условие $AA_{1}\perp EB$ равносильно равенству
$AB^{2}-AE^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}E^{2}$
(см. задачу 5927). Аналогично,
$BC^{2}-BA^{2}=B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2},~CD^{2}-CB^{2}=C_{1}D^{2}-C_{1}B^{2},$
$DE^{2}-DC^{2}=D_{1}E^{2}-D_{1}C^{2},~EA^{2}-ED^{2}=E_{1}A^{2}-E_{1}D^{2}.$
Сложим эти пять равенств. Слева получится 0, т.к. как каждая сторона один раз войдёт со знаком плюс и один раз со знаком минус, а справа, в силу равенств из условия, сократятся все слагаемые, кроме $ED_{1}^{2}-EA_{1}^{2}$. Следовательно, эта разность равна 0, и $ED_{1}=EA_{1}$. Что и требовалось доказать
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$, $E_{1}$ таковы, что
$AA_{1}\perp EB,~BB_{1}\perp AC,~CC_{1}\perp BD,~DD_{1}\perp CE,~EE_{1}\perp DA.$
Кроме того,
$AE_{1}=AB_{1},~BC_{1}=BA_{1},~CB_{1}=CD_{1},~DC_{1}=DE_{1}.$
Докажите, что тогда $ED_{1}=EA_{1}$
Решение:
Условие $AA_{1}\perp EB$ равносильно равенству
$AB^{2}-AE^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}E^{2}$
(см. задачу 5927). Аналогично,
$BC^{2}-BA^{2}=B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2},~CD^{2}-CB^{2}=C_{1}D^{2}-C_{1}B^{2},$
$DE^{2}-DC^{2}=D_{1}E^{2}-D_{1}C^{2},~EA^{2}-ED^{2}=E_{1}A^{2}-E_{1}D^{2}.$
Сложим эти пять равенств. Слева получится 0, т.к. как каждая сторона один раз войдёт со знаком плюс и один раз со знаком минус, а справа, в силу равенств из условия, сократятся все слагаемые, кроме $ED_{1}^{2}-EA_{1}^{2}$. Следовательно, эта разность равна 0, и $ED_{1}=EA_{1}$. Что и требовалось доказать
