Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16394
2026-02-17 
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что треугольник $BCE$ равнобедренный
Решение:
Обозначим через $\alpha$ угол $CAD$ и равные ему углы. Пусть $C'$ - точка, симметричная точке $C$ относительно прямой $AD$. Тогда $ACDC'$ - ромб. Напишем сумму углов треугольника $ADC'$:
$180^{\circ}=\angle AC'D+2\alpha=\angle AC'D+\angle ABD.$
Следовательно, четырёхугольник $ABDC'$ вписанный. Тогда
$\angle ADC'=\angle ABC'=\alpha=\angle ABE.$
Значит, прямая $BC'$ проходит через точку $E$, и тогда по теореме Фалеса $E$ - середина отрезка $BC'$ (прямая $DE$ параллельна $BC$ и проходит через середину отрезка $CC'$). Следовательно,
$CE=C'E=BE.$
Что и требовалось доказать
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что треугольник $BCE$ равнобедренный
Решение:
Обозначим через $\alpha$ угол $CAD$ и равные ему углы. Пусть $C'$ - точка, симметричная точке $C$ относительно прямой $AD$. Тогда $ACDC'$ - ромб. Напишем сумму углов треугольника $ADC'$:
$180^{\circ}=\angle AC'D+2\alpha=\angle AC'D+\angle ABD.$
Следовательно, четырёхугольник $ABDC'$ вписанный. Тогда
$\angle ADC'=\angle ABC'=\alpha=\angle ABE.$
Значит, прямая $BC'$ проходит через точку $E$, и тогда по теореме Фалеса $E$ - середина отрезка $BC'$ (прямая $DE$ параллельна $BC$ и проходит через середину отрезка $CC'$). Следовательно,
$CE=C'E=BE.$
Что и требовалось доказать
