Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16395
2026-02-17 
Из точки $O$ выходят лучи $l$, $l_{1}$, $l_{2}$, угол между $l$ и $l_{2}$ острый, луч $l_{1}$ лежит внутри этого угла. На луче $l$ лежит фиксированная точка $F$ и произвольная точка $L$. Через точки $F$ и $L$ проходят окружность, касающаяся луча $l_{1}$ в точке $L_{1}$, и окружность, касающаяся луча $l_{2}$ в точке $L_{2}$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $F$, $L_{1}$ и $L_{2}$, проходит через некоторую точку, отличную от точки $F$ и не зависящую от выбора точки $L$
Решение:
По теореме о касательной и секущей
$OL_{1}^{2}=OF\cdot OL=OL_{2}^{2}~\Rightarrow~OL_{1}=OL_{2}.$
Значит, серединный перпендикуляр к отрезку $L_{1}L_{2}$ содержит биссектрису угла $L_{1}OL_{2}$, поэтому любая окружность, проходящая через точки $L_{1}$ и $L_{2}$, симметрична относительно этой биссектрисы. Следовательно, окружность, проходящая через точки $F$, $L_{1}$ и $L_{2}$ проходит через точку $F'$, которая симметрична точке $F$ относительно биссектрисы угла $L_{1}OL_{2}$
Из точки $O$ выходят лучи $l$, $l_{1}$, $l_{2}$, угол между $l$ и $l_{2}$ острый, луч $l_{1}$ лежит внутри этого угла. На луче $l$ лежит фиксированная точка $F$ и произвольная точка $L$. Через точки $F$ и $L$ проходят окружность, касающаяся луча $l_{1}$ в точке $L_{1}$, и окружность, касающаяся луча $l_{2}$ в точке $L_{2}$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $F$, $L_{1}$ и $L_{2}$, проходит через некоторую точку, отличную от точки $F$ и не зависящую от выбора точки $L$
Решение:
По теореме о касательной и секущей
$OL_{1}^{2}=OF\cdot OL=OL_{2}^{2}~\Rightarrow~OL_{1}=OL_{2}.$
Значит, серединный перпендикуляр к отрезку $L_{1}L_{2}$ содержит биссектрису угла $L_{1}OL_{2}$, поэтому любая окружность, проходящая через точки $L_{1}$ и $L_{2}$, симметрична относительно этой биссектрисы. Следовательно, окружность, проходящая через точки $F$, $L_{1}$ и $L_{2}$ проходит через точку $F'$, которая симметрична точке $F$ относительно биссектрисы угла $L_{1}OL_{2}$
