Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16404
2026-02-17 
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точка $A'$ такова, что $\angle ABA'=\angle ADA'=90^{\circ}$. Аналогично определяются точки $B'$, $C'$ и $D'$ При этом $A'$ и $C'$ лежат внутри четырёхугольника $ABCD$, а $B$ и $D$ - внутри выпуклого четырёхугольника $A'B'C'D'$. Докажите, что площади четырёхугольников $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны
Решение:
Пусть $S_{A'BC'D}=x$. Тогда
$S_{ABCD}=S_{\Delta CBC'}+S_{\Delta CDC'}+S_{\Delta ABA'}+S_{\Delta ADA'}-x.$
Заменив каждую из площадей треугольников в последнем выражении заменим с помощью равенства $S_{\Delta ABA'}=S_{\Delta BB'A'}$ и аналогичных ему, получим
$S_{\Delta BB'C'}+S_{\Delta C'DD'}+S_{\Delta BB'A'}+S_{\Delta D'A'D}-x=S_{A'B'C'D'}.$
Следовательно, $S_{ABCD}=S_{A'B'C'D'}$. Что и требовалось доказать
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точка $A'$ такова, что $\angle ABA'=\angle ADA'=90^{\circ}$. Аналогично определяются точки $B'$, $C'$ и $D'$ При этом $A'$ и $C'$ лежат внутри четырёхугольника $ABCD$, а $B$ и $D$ - внутри выпуклого четырёхугольника $A'B'C'D'$. Докажите, что площади четырёхугольников $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны
Решение:
Пусть $S_{A'BC'D}=x$. Тогда
$S_{ABCD}=S_{\Delta CBC'}+S_{\Delta CDC'}+S_{\Delta ABA'}+S_{\Delta ADA'}-x.$
Заменив каждую из площадей треугольников в последнем выражении заменим с помощью равенства $S_{\Delta ABA'}=S_{\Delta BB'A'}$ и аналогичных ему, получим
$S_{\Delta BB'C'}+S_{\Delta C'DD'}+S_{\Delta BB'A'}+S_{\Delta D'A'D}-x=S_{A'B'C'D'}.$
Следовательно, $S_{ABCD}=S_{A'B'C'D'}$. Что и требовалось доказать
