ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BB_{1}$. Точка $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ пересекает окружность, описанную около треугольника $AIC$, в точках $D$ и $E$. Точка $F$ на отрезке $B_{1}C$ выбрана так, что $AB_{1}=CF_{1}$. Докажите, что точки $B$, $D$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности


Решение:


Обозначим через $M$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $B$. Тогда $M$ - точка пересечения прямых $BB_{1}$ и $DE$ (см. задачу 5343), а т.к. по теореме о трилистнике (см. задачу 4503) $MA=MI=MC$, то $M$ - центр описанной окружности треугольника $AIC$. Следовательно,

$MA=MC=MD=ME.$


Поскольку

$\angle MAB_{1}=\angle MAC=\angle MBC=\angle MBA,$

треугольники $AMB_{1}$ и $BMA$ подобны по двум углам. Значит,

$\frac{MB_{1}}{MA}=\frac{MA}{MB}~\Rightarrow~MB_{1}\cdot MB=MA^{2}=MD^{2}=ME^{2}.$

Тогда $\frac{MB_{1}}{MD}=\frac{MD}{MB}$, и значит, треугольники $MB_{1}D$ и $MDB$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

$\angle EDF=\angle MDF=\angle MDB_{1}=\angle MBD.$

Аналогично, $\frac{MB_{1}}{ME}=\frac{ME}{MB}$, и значит, треугольники $MB_{1}E$ и $MEB$ подобны. Следовательно,

$\angle DEF=\angle MEF=\angle MEB_{1}=\angle MBE.$

Таким образом,

$\angle DBE=\angle MBD+\angle MBE=\angle EDF+\angle DEF=180^{\circ}-\angle DFE.$

Следовательно, точки $B$, $D$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности