Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16397
2026-02-17 
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность с центром в точке $O_{b}$ проходит через точки $A$, $C_{1}$ и середину отрезка $BH$. Окружность с центром в точке $O_{c}$ проходит через точки $A$, $B_{1}$ и середину отрезка $CH$. Докажите, что $B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\gt\frac{1}{4}BC$
Решение:
Обозначим середину отрезка $BH$ через $M$, а окружность, проходящую через точки $A$, $C_{1}$ и $M$, - через $\omega$. Поскольку
$\frac{1}{4}BC\lt\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH,$
для решения задачи достаточно доказать неравенство $B_{1}O_{b}\geq\frac{1}{4}BH$ (и $C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}CH$). Докажем, что расстояние от точки $O_{b}$ до прямой $AC$ равно $\frac{1}{4}BH$ (отсюда будет следовать утверждение задачи).
В самом деле, пусть точка $B'$ симметрична вершине $B$ относительно прямой $AC$. Поскольку
$BM\cdot BB'=BM\cdot2BB_{1}=2BM\cdot BB_{1}=BH\cdot BB_{1}=BC_{1}\cdot BA$
(последнее равенство следует из вписанности четырёхугольника $AB_{1}HC_{1}$). Следовательно, точка $B'$ лежит на окружности $\omega$ (см. задачу 3921).
Таким образом, центр $O_{b}$ окружности $\omega$ должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде $MB'$. Значит, расстояние от точки $O_{b}$ до прямой $AC$ равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой $AC$, т.е. между серединами отрезков $B'M$ и $BB'$. Оно в два раза меньше, чем расстояние между точками $M$ и $B$, т.е. равно $\frac{1}{4}BH$. Аналогично, расстояние от точки $O_{c}$ до прямой $AB$ равно $\frac{1}{4}CH$. Значит,
$B_{1}O_{b}\geq\frac{1}{4}BH,~C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}CH$
Следовательно,
$B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH=\frac{1}{4}(BH+CH)\gt\frac{1}{4}BC.$
Что и требовалось доказать
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность с центром в точке $O_{b}$ проходит через точки $A$, $C_{1}$ и середину отрезка $BH$. Окружность с центром в точке $O_{c}$ проходит через точки $A$, $B_{1}$ и середину отрезка $CH$. Докажите, что $B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\gt\frac{1}{4}BC$
Решение:
Обозначим середину отрезка $BH$ через $M$, а окружность, проходящую через точки $A$, $C_{1}$ и $M$, - через $\omega$. Поскольку
$\frac{1}{4}BC\lt\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH,$
для решения задачи достаточно доказать неравенство $B_{1}O_{b}\geq\frac{1}{4}BH$ (и $C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}CH$). Докажем, что расстояние от точки $O_{b}$ до прямой $AC$ равно $\frac{1}{4}BH$ (отсюда будет следовать утверждение задачи).
В самом деле, пусть точка $B'$ симметрична вершине $B$ относительно прямой $AC$. Поскольку
$BM\cdot BB'=BM\cdot2BB_{1}=2BM\cdot BB_{1}=BH\cdot BB_{1}=BC_{1}\cdot BA$
(последнее равенство следует из вписанности четырёхугольника $AB_{1}HC_{1}$). Следовательно, точка $B'$ лежит на окружности $\omega$ (см. задачу 3921).
Таким образом, центр $O_{b}$ окружности $\omega$ должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде $MB'$. Значит, расстояние от точки $O_{b}$ до прямой $AC$ равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой $AC$, т.е. между серединами отрезков $B'M$ и $BB'$. Оно в два раза меньше, чем расстояние между точками $M$ и $B$, т.е. равно $\frac{1}{4}BH$. Аналогично, расстояние от точки $O_{c}$ до прямой $AB$ равно $\frac{1}{4}CH$. Значит,
$B_{1}O_{b}\geq\frac{1}{4}BH,~C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}CH$
Следовательно,
$B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\geq\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH=\frac{1}{4}(BH+CH)\gt\frac{1}{4}BC.$
Что и требовалось доказать
