Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16391
2026-02-17 
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ таким образом, что $P$ находится внутри треугольника $AQB$, $PQ=QC$ и $\angle PAQ=\angle PBQ=30^{\circ}$. Найдите $\angle AQB$
Решение:
Построим на сторонах $AP$ и $PB$ треугольника $APB$ правильные треугольники $APX$ и $BPY$. Треугольник $AXC$ получается из треугольника $APB$ поворотом на $60^{\circ}$ вокруг точки $A$, значит, эти треугольники равны. Тогда $XC=PB=PY$. Аналогично $CY=AP=XP$. Противоположные стороны четырёхугольника $PXCY$ попарно равны, следовательно, $PXCY$ - параллелограмм.
Поскольку $\angle PBQ=30^{\circ}$, отрезок $BQ$ - биссектриса правильного треугольника $BPY$. Следовательно, прямая $BQ$ - серединный перпендикуляр к отрезку $PY$, и тогда $QP=QY$. Аналогично $QP=QX$, а т.к. по условию $QP=QC$, то получаем, что точка $Q$ равноудалена от всех вершин параллелограмма $PXCY$. Это означает, что около этого параллелограмма можно описать окружность. Тогда $PXCY$ - прямоугольник.
Выше мы уже доказали, что отрезки $BQ$ и $AQ$ перпендикулярны сторонам этого прямоугольника. Следовательно, $\angle AQB=90^{\circ}$
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ таким образом, что $P$ находится внутри треугольника $AQB$, $PQ=QC$ и $\angle PAQ=\angle PBQ=30^{\circ}$. Найдите $\angle AQB$
Решение:
Построим на сторонах $AP$ и $PB$ треугольника $APB$ правильные треугольники $APX$ и $BPY$. Треугольник $AXC$ получается из треугольника $APB$ поворотом на $60^{\circ}$ вокруг точки $A$, значит, эти треугольники равны. Тогда $XC=PB=PY$. Аналогично $CY=AP=XP$. Противоположные стороны четырёхугольника $PXCY$ попарно равны, следовательно, $PXCY$ - параллелограмм.
Поскольку $\angle PBQ=30^{\circ}$, отрезок $BQ$ - биссектриса правильного треугольника $BPY$. Следовательно, прямая $BQ$ - серединный перпендикуляр к отрезку $PY$, и тогда $QP=QY$. Аналогично $QP=QX$, а т.к. по условию $QP=QC$, то получаем, что точка $Q$ равноудалена от всех вершин параллелограмма $PXCY$. Это означает, что около этого параллелограмма можно описать окружность. Тогда $PXCY$ - прямоугольник.
Выше мы уже доказали, что отрезки $BQ$ и $AQ$ перпендикулярны сторонам этого прямоугольника. Следовательно, $\angle AQB=90^{\circ}$
