Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16388
2026-02-17 
Точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно четырёхугольника $ABCD$. Отрезки $AM$, $DM$, $BN$ и $CN$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на семь частей (шесть из которых треугольники, а седьмая - четырёхугольник). Докажите, что если площади шести из этих частей - нечётные натуральные числа, то все эти шесть частей - треугольники
Решение:
Пусть прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $X$, а прямые $DM$ и $CN$ - в точке $Y$. Предположим, что площадь $S_{MXNY}$ четырёхугольника $MXNY$ нечётна. Поскольку треугольники бывают двух типов - прилегающие ко всей стороне четырёхугольника либо прилегающие к половине стороны, не умаляя общности, можно считать, что о площади одной из частей $ABX$, $ANX$ нам ничего не известно, а площади всех остальных частей нечётны. Докажем, что $S_{\Delta NYM}$ - полуцелое число, т.е. имеет вид $\frac{n}{2}$, где $n$ - нечётно.
Действительно, числа $S_{\Delta NYM}$ и $S_{\Delta NXM}$ в сумме дают нечётное число, а т.к.
$S_{\Delta NXM}+S_{\Delta BMX}=S_{\Delta BMN}=S_{\Delta CMN}=S_{\Delta NYM}+S_{\Delta CMY},$
то величина
$S_{\Delta NYM}-S_{\Delta NXM}=S_{\Delta BMX}-S_{\Delta CMY}$
чётна как разность двух нечётных чисел. Итак, сумма чисел $S_{\Delta NYM}$ и $S_{\Delta NXM}$ нечётна, а разность чётна, значит, эти числа полуцелые. Осталось заметить, что равны произведения площадей
$S_{\Delta CYM}\cdot S_{\Delta DYN}=S_{\Delta CYD}\cdot S_{\Delta NYM}$
(см. задачу 7358), а это приводит к противоречию, поскольку левая часть - натуральное число, а правая - нет, т.к. она является произведением нечётного числа на полуцелое
Точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно четырёхугольника $ABCD$. Отрезки $AM$, $DM$, $BN$ и $CN$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на семь частей (шесть из которых треугольники, а седьмая - четырёхугольник). Докажите, что если площади шести из этих частей - нечётные натуральные числа, то все эти шесть частей - треугольники
Решение:
Пусть прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $X$, а прямые $DM$ и $CN$ - в точке $Y$. Предположим, что площадь $S_{MXNY}$ четырёхугольника $MXNY$ нечётна. Поскольку треугольники бывают двух типов - прилегающие ко всей стороне четырёхугольника либо прилегающие к половине стороны, не умаляя общности, можно считать, что о площади одной из частей $ABX$, $ANX$ нам ничего не известно, а площади всех остальных частей нечётны. Докажем, что $S_{\Delta NYM}$ - полуцелое число, т.е. имеет вид $\frac{n}{2}$, где $n$ - нечётно.
Действительно, числа $S_{\Delta NYM}$ и $S_{\Delta NXM}$ в сумме дают нечётное число, а т.к.
$S_{\Delta NXM}+S_{\Delta BMX}=S_{\Delta BMN}=S_{\Delta CMN}=S_{\Delta NYM}+S_{\Delta CMY},$
то величина
$S_{\Delta NYM}-S_{\Delta NXM}=S_{\Delta BMX}-S_{\Delta CMY}$
чётна как разность двух нечётных чисел. Итак, сумма чисел $S_{\Delta NYM}$ и $S_{\Delta NXM}$ нечётна, а разность чётна, значит, эти числа полуцелые. Осталось заметить, что равны произведения площадей
$S_{\Delta CYM}\cdot S_{\Delta DYN}=S_{\Delta CYD}\cdot S_{\Delta NYM}$
(см. задачу 7358), а это приводит к противоречию, поскольку левая часть - натуральное число, а правая - нет, т.к. она является произведением нечётного числа на полуцелое
