Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16392
2026-02-17 
На стороне $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ с острым углом $B$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что $BE+CE\lt AD$
Решение:
Обозначим через $\alpha$ угол $CAD$ и равные ему углы. Пусть $C'$ - точка, симметричная точке $C$ относительно прямой $AD$. Тогда $ACDC'$ - ромб. Напишем сумму углов треугольника $ADC'$:
$180^{\circ}=\angle AC'D+2\alpha=\angle AC'D+\angle ABD.$
Отсюда заключаем, что четырёхугольник $ABDC'$ вписанный. Тогда
$\angle ADC'=\angle ABC'=\alpha=\angle ABE.$
Значит, прямая $BC'$ проходит через точку $E$. В силу симметрии $EC=EC'$, и тогда
$BE+CE=BC'.$
На хорду $AD$ опирается острый вписанный угол $ABD$, равный $2\alpha$, а на хорду $BC'$ - угол $C'DB$, меньший угла $C'DC$, равного $2\alpha$. Из теоремы синусов следует, что $BC'\lt AD$. Значит,
$BE+CE=BC'\lt AD.$
Что и требовалось доказать
На стороне $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ с острым углом $B$ отмечена точка $E$. Известно, что
$\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.$
Докажите, что $BE+CE\lt AD$
Решение:
Обозначим через $\alpha$ угол $CAD$ и равные ему углы. Пусть $C'$ - точка, симметричная точке $C$ относительно прямой $AD$. Тогда $ACDC'$ - ромб. Напишем сумму углов треугольника $ADC'$:
$180^{\circ}=\angle AC'D+2\alpha=\angle AC'D+\angle ABD.$
Отсюда заключаем, что четырёхугольник $ABDC'$ вписанный. Тогда
$\angle ADC'=\angle ABC'=\alpha=\angle ABE.$
Значит, прямая $BC'$ проходит через точку $E$. В силу симметрии $EC=EC'$, и тогда
$BE+CE=BC'.$
На хорду $AD$ опирается острый вписанный угол $ABD$, равный $2\alpha$, а на хорду $BC'$ - угол $C'DB$, меньший угла $C'DC$, равного $2\alpha$. Из теоремы синусов следует, что $BC'\lt AD$. Значит,
$BE+CE=BC'\lt AD.$
Что и требовалось доказать
