ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L$. Точка $M$ - середина стороны $CD$. Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через точку $L$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Оказалось, что угол $BLM$ прямой. Найдите отношение $\frac{BK}{KA}$


Решение:


Продолжим отрезок $BM$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $N$, а отрезок $LK$ - до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. Положим $LD=x$, $BC=y$. Треугольники $BCM$ и $NDM$ по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому $DN=BC=y$. Противоположные стороны $BP$ и $LN$ четырёхугольника $PLNB$ параллельны, значит, это параллелограмм, поэтому

$PB=LN=LD+DN=x+y.$


Поскольку

$\angle ALB=\angle LBC=\angle ABL,$

треугольник $ABL$ равнобедренный, $AL=AB$. Значит, его высота $AE$ является медианой. Следовательно, $EM$ - средняя линия трапеции $BLDC$, поэтому

$EM=\frac{1}{2}(BC+LD)=\frac{1}{2}.$


Прямые $AE$ и $LM$ параллельны, т.к. обе они перпендикулярны $BL$. Значит, четырёхугольник $AEML$ - тоже параллелограмм. Тогда

$AL=EM=\frac{1}{2}(x+y)=\frac{1}{2}PB.$


Треугольники $PKB$ и $LKA$ подобны, следовательно,

$\frac{BK}{KA}=\frac{PB}{LA}=2$.