В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$ и отмечена точка $H$ пересечения высот. Серединный перпендикуляр к отрезку $HD$ пересекает окружность, описанную около треугольника $BCD$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle APB+\angle AQB=180^{\circ}$
Подробнее
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, медиана $AM$, а также отмечен центр $O$ его описанной окружности $\omega$. Отрезки $OH$ и $AM$ пересекаются в точке $D$, прямые $AB$ и $CD$ - в точке $E$, прямые $BD$ и $AC$ - в точке $F$. Лучи $EH$ и $FH$ пересекают окружность $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямые $BY$, $CX$ и $AH$ пересекаются в одной точке
Подробнее
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_{B}$ и $I_{C}$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_{B}\cdot XI_{C}\gt XB\cdot XC$
Подробнее
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^{\circ}$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$
Подробнее
В полукруг с диаметром $AB$ вписана окружность, касающаяся $AB$ в точке $C$. Касательные к этой окружности, перпендикулярные $AB$, пересекают $AB$ в точках $M$ и $N$ ($N$ между $B$ и $M$). Известно, что $AM=16$ и $BN=4$. Найдите радиус окружности
Подробнее
Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой
Подробнее
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведённая к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой
Подробнее
Остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$) вписан в окружность с центром в точке $O$. Лучи $BO$ и $CO$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Через точку $C'$ проведена прямая $l$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что прямая $l$ касается окружности, описанной около треугольника $B'OC$
Подробнее
Неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=60^{\circ}$, вписан в окружность $\Omega$. На биссектрисе угла $BAC$ выбрана точка $A'$, а на биссектрисе угла $ABC$ - точка $B'$ так, что $AB'\parallel BC$ и $BA'\parallel AC$. Прямая $A'B'$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что треугольник $CDE$ равнобедренный
Подробнее
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ - центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ - биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_{1}IO_{2}$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырёхугольника
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$
Подробнее
Пусть $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_{2}$ - точка касания вписанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$ со стороной $B_{1}C_{1}$; аналогично определяются точки $B_{2}$, $C_{2}$. Докажите, что прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, $C_{1}C_{2}$ пересекаются в одной точке
Подробнее
Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$. Аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведённая в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$
Подробнее
