ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Окружность $\omega$ касается стороны $AC$ правильного треугольника $ABC$ в точке $D$, а его описанной окружности - в точке $E$, лежащей на дуге $BC$. Докажите, что из отрезков $AD$, $BE$ и $CD$ можно составить треугольник, у которого разность каких-то двух углов равна $60^{\circ}$


Решение:


Пусть $T$ - середина меньшей дуги $AC$. Из леммы Архимеда о сегменте (см. задачу 8172) следует, что точки $E$, $D$ и $T$ лежат на одной прямой, причём

$\angle CET=\angle CBT=30^{\circ}.$


Отметим на стороне $AC$ точку $D$, для которой $CD=CK$. В равнобедренном треугольнике $CKD$ угол при вершине $C$ равен $60^{\circ}$, поэтому треугольник $CKD$ правильный. Значит, $\angle CKD=60^{\circ}$, а т.к. $\angle CED=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle CKD$ и $KD=KC$, то $K$ - центр окружности, проходящей через точки $C$, $E$ и $D$ (см. задачу 6313). Тогда

$KE=KC=CD,~BK=BC-CK=AC-CD=AD,$

$\angle CEK=\angle BCE,$

$\angle BEK-\angle KBE=(\angle BEC-\angle BCE)-\angle CBE=(\angle BEC-\angle CEK)-\angle CBE=\angle BEC-(\angle ECK+\angle CBE)=\angle BEC-(\angle ECB+\angle CBE)=\angle BEC-(180^{\circ}-\angle BEC)=2\angle BEC-180^{\circ}=2\cdot120^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ}.$

Следовательно, треугольник $BEK$ - искомый