Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16378
2026-02-17 
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ - параллелограмм и $BD=CX$, $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$
Решение:
Первый способ. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, поэтому
$AB=CX=BD,~BC=AX=BE,$
а т.к. треугольник $ABD$ равнобедренный и противоположные углы параллелограмма равны, то
$\angle ABD=180^{\circ}-2\angle BAD=180^{\circ}-2\angle BCE=\angle CBE.$
Значит,
$\angle ABE=\angle ABD-\angle DBE=\angle CBE-\angle DBE=\angle CBD.$
Следовательно, треугольники $ABE$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AE=CD$.
Второй способ. Проведём отрезок $BX$. У трапеции $ABXE$ равны диагонали $AX$ и $BE$, поэтому она равнобедренная (см. задачу 5489), т.е. $AE=BX$. Аналогично из равнобедренной трапеции $BCDX$ получаем $CD=BX$. Следовательно,
$AE=BX=CD$.
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ - параллелограмм и $BD=CX$, $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$
Решение:
Первый способ. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, поэтому
$AB=CX=BD,~BC=AX=BE,$
а т.к. треугольник $ABD$ равнобедренный и противоположные углы параллелограмма равны, то
$\angle ABD=180^{\circ}-2\angle BAD=180^{\circ}-2\angle BCE=\angle CBE.$
Значит,
$\angle ABE=\angle ABD-\angle DBE=\angle CBE-\angle DBE=\angle CBD.$
Следовательно, треугольники $ABE$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AE=CD$.
Второй способ. Проведём отрезок $BX$. У трапеции $ABXE$ равны диагонали $AX$ и $BE$, поэтому она равнобедренная (см. задачу 5489), т.е. $AE=BX$. Аналогично из равнобедренной трапеции $BCDX$ получаем $CD=BX$. Следовательно,
$AE=BX=CD$.
