ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$


Решение:


Отметим точки $K$ и $L$ на отрезках $CP$ и $AQ$ соответственно таким образом, чтобы $CK=RP$, а $AL=RQ$. Пусть $M$ - точка, симметричная точке $R$ относительно середины отрезка $AC$. Тогда $APKM$ - параллелограмм, т.к. $PK\parallel AM$ и

$PK=RP+RK=CK+RK=CR=AM.$

Значит, $MK=AP$. Аналогично, $CQLM$ - тоже параллелограмм, и $ML=CQ$.
Докажем, что треугольник $LKM$ - искомый, т.е. $\angle LMK=\angle ABC$. В самом деле,

$RL=AR-AL=AR-QR=PR,$

$RK=CR-CK=CR-PR=QR,$

поэтому треугольники $PRQ$ и $LRK$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $LK=PQ$, а т.к. стороны $MK$ и $ML$ треугольника $LKM$ соответственно параллельны сторонам $BC$ и $BA$ треугольника $ABC$, то $\angle KML=\angle ABC$. Что и требовалось доказать