Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16384
2026-02-17 
Точки $L$ и $P$ - проекции вершины $A$ треугольника $ABC$ на биссектрисы его внешних углов при вершинах $B$ и $C$ соответственно; точки $N$ и $K$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; точки $Q$ и $M$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$, $Q$, $K$ и $L$ лежат на одной окружности
Решение:
Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $\angle ABC=\beta$, $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Пусть $A'$, $B'$ и $C'$ - середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Поскольку $LM$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$, то
$\angle LBC'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},$
а т.к. $LC'$ - медиана прямоугольного треугольника $ALB$, проведённая из вершины прямого угла, то
$LC'=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}.$
Треугольник $BC'L$ равнобедренный, поэтому
$\angle LC'B=180^{\circ}-2\angle LBC'=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\beta.$
Отрезок $B'C'$ - средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $C'B'\parallel BC$, и
$\angle AC'B'=\angle ABC=\beta=\angle LC'B'.$
Значит, точки $L$, $C'$ и $B'$ лежат на одной прямой. Аналогично,
$B'P=B'C=\frac{b}{2},$
и точки $C'$, $B'$ и $P$ лежат на одной прямой, и поэтому точки $L$, $C'$, $B'$ и $P$ лежат на одной прямой. Тогда
$LP=LC'+C'B'+B'P=\frac{c}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=p.$
Пусть $I'$ - центр вписанной окружности треугольника $A'B'C'$, $r$ - её радиус, а $X$ - точка касания со стороной $B'C'$. Поскольку полупериметр треугольника $A'B'C'$ равен $\frac{p}{2}$, то (см. задачу 4014)
$B'X=\frac{p}{2}-A'C'=\frac{p}{2}-\frac{b}{2},$
поэтому
$XP=XB'+B'P=\left(\frac{p}{2}-\frac{b}{2}\right)+\frac{b}{2}=\frac{p}{2}=\frac{LP}{2}.$
Значит, $X$ - середина отрезка $B'C'$, а т.к. $I'X\perp LP$, то
$I'L=I'P=\sqrt{I'X^{2}+XP^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}.$
Аналогично, расстояния от точки $I'$ до точек $K$, $M$, $N$ и $Q$ тоже равны $\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}$. Следовательно, точки $M$, $N$, $P$, $Q$, $K$ и $L$ лежат на окружности с центром $I'$ и радиусом $\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}$. Что и требовалось
Точки $L$ и $P$ - проекции вершины $A$ треугольника $ABC$ на биссектрисы его внешних углов при вершинах $B$ и $C$ соответственно; точки $N$ и $K$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; точки $Q$ и $M$ - проекции вершины $B$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$, $Q$, $K$ и $L$ лежат на одной окружности
Решение:
Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $\angle ABC=\beta$, $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Пусть $A'$, $B'$ и $C'$ - середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Поскольку $LM$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$, то
$\angle LBC'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},$
а т.к. $LC'$ - медиана прямоугольного треугольника $ALB$, проведённая из вершины прямого угла, то
$LC'=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}.$
Треугольник $BC'L$ равнобедренный, поэтому
$\angle LC'B=180^{\circ}-2\angle LBC'=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\beta.$
Отрезок $B'C'$ - средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $C'B'\parallel BC$, и
$\angle AC'B'=\angle ABC=\beta=\angle LC'B'.$
Значит, точки $L$, $C'$ и $B'$ лежат на одной прямой. Аналогично,
$B'P=B'C=\frac{b}{2},$
и точки $C'$, $B'$ и $P$ лежат на одной прямой, и поэтому точки $L$, $C'$, $B'$ и $P$ лежат на одной прямой. Тогда
$LP=LC'+C'B'+B'P=\frac{c}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=p.$
Пусть $I'$ - центр вписанной окружности треугольника $A'B'C'$, $r$ - её радиус, а $X$ - точка касания со стороной $B'C'$. Поскольку полупериметр треугольника $A'B'C'$ равен $\frac{p}{2}$, то (см. задачу 4014)
$B'X=\frac{p}{2}-A'C'=\frac{p}{2}-\frac{b}{2},$
поэтому
$XP=XB'+B'P=\left(\frac{p}{2}-\frac{b}{2}\right)+\frac{b}{2}=\frac{p}{2}=\frac{LP}{2}.$
Значит, $X$ - середина отрезка $B'C'$, а т.к. $I'X\perp LP$, то
$I'L=I'P=\sqrt{I'X^{2}+XP^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}.$
Аналогично, расстояния от точки $I'$ до точек $K$, $M$, $N$ и $Q$ тоже равны $\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}$. Следовательно, точки $M$, $N$, $P$, $Q$, $K$ и $L$ лежат на окружности с центром $I'$ и радиусом $\sqrt{r^{2}+\frac{p^{2}}{4}}$. Что и требовалось
