Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC:CB=17:7$. Найдите $AB$, если известно, что радиусы $\omega$ и $\Omega$ равны 7 и 13 соответственно
Подробнее
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\omega$, диаметр $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC=1$ и $BC=16$. Найдите длину общей касательной к окружностям $\omega$ и $\Omega$
Подробнее
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ - вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt{2}XY$. Найдите отношение $AD:DC$
Подробнее
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) описана окружность $\Omega$. Прямая, содержащая биссектрису $AD$ треугольника $ABC$, пересекает повторно $\Omega$ в точке $E$. Найдите периметр четырёхугольника $ABEC$, если известно что площади треугольников $BED$ и $CED$ равны 5 и 6 соответственно
Подробнее
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=7{,}5$, $XY=15$
Подробнее
Пусть $PT$ и $PB$ - две касательные к окружности, $AB$ - диаметр, проходящий через точку $B$, а $TH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $T$ на $AB$. Докажите, что прямая $AP$ делит пополам отрезок $TH$
Подробнее
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ построены квадраты $AKLC$ и $BCMN$. Докажите, что описанные около них окружности пересекаются на окружности с диаметром $AB$, и центры этих трёх окружностей - вершины равнобедренного прямоугольного треугольника
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^{\circ}$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=42^{\circ}$ и $AB\lt AC$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $AB=CK$. Точки $P$ и $Q$ - середины отрезков $AK$ и $BC$ соответственно. Сколько градусов составляет угол $ACB$, если известно, что $\angle PQC=110^{\circ}$
Подробнее
На сторонах $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AN=7$, $NC=39$, $AM=12$, $MB=3$.
а) Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
б) Найдите площадь треугольника $MNC$
Подробнее
Стороны $AD$ и $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равны. На стороне $BC$ отмечена такая точка $X$, что $AB=BX$. Известно, что $\angle B=34^{\circ}$, $\angle XDC=52^{\circ}$.
а) Сколько градусов составляет угол $AXC$?
б) Сколько градусов составляет угол $ACB$
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ - середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась такая точка $K$, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ вписанный.
а) Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
б) Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^{\circ}$
Подробнее
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ - центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^{\circ}$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$
Подробнее
Точка $M$ - середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$. Известно, что $\angle KQD=64^{\circ}$ и $\angle KDQ=38^{\circ}$. Сколько градусов составляет угол $KBC$
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\gamma$. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках $AB$ и $CD$ как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке $S$. Пусть точки $M$ и $N$ - середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что перпендикуляр $l$ к прямой $MN$, восставленный в точке $M$, пересекает прямую $CS$ в точке, лежащей на $\gamma$
Подробнее
