ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом $C$, равным $108^{\circ}$, выбраны точки $P$ и $Q$ ($P$ между $A$ и $Q$) таким образом, что периметр треугольника $CPQ$ равен стороне $AB$. Оказалось, что центр описанной окружности остроугольного треугольника $ACQ$ лежит на описанной окружности треугольника $PCQ$. Найдите угол $PCQ$


Решение:


Пусть $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ACQ$. Обозначим $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$. Из условия находим, что

$\alpha+\beta=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}.$

Центральный угол $COQ$ вдвое больше вписанного угла $CAQ$, поэтому $\angle COQ=2\alpha$. Четырёхугольник $COPQ$ вписан в окружность, поэтому

$\angle CPQ=\angle COQ=2\alpha.$

Тогда по теореме о внешнем угле треугольника

$\angle ACP=\angle CPQ-\angle CAP=2\alpha-\alpha=\alpha,$

значит, треугольник $APC$ равнобедренный, $AP=CP$.
По условию

$CP+PQ+CQ=AP+PQ+BQ,$

поэтому

$CP+CQ=AP+BQ=CP+BQ,$

откуда $BQ=CQ$, т.е. треугольник $BQC$ тоже равнобедренный. Значит, $\angle BCQ=\angle CBQ=\beta$. Следовательно,

$\angle PCQ=\angle ACB-\angle ACP-\angle BCQ=108^{\circ}-\alpha-\beta=108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$.