Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16364
2026-02-17 
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой
Решение:
По теореме Менелая для треугольника $AIB$ и прямой $KQ$ получаем
$\frac{BQ}{QI}\cdot\frac{IP}{PA}\cdot\frac{AK}{KB}=-1.$
Аналогично, для треугольника $BIC$ и прямой $QL$ получаем
$\frac{CR}{RI}\cdot\frac{IQ}{QB}\cdot\frac{BL}{LC}=-1.$
Аналогично, для треугольника $CID$ и прямой $SM$ -
$\frac{DS}{SI}\cdot\frac{IR}{RC}\cdot\frac{CM}{MD}=-1.$
Перемножая эти равенства с учётом равенств $AK=AN$, $BK=BL$, $CL=CM$ и $DM=DN$, получаем
$\frac{IS}{SD}\cdot\frac{DN}{NA}\cdot\frac{AP}{PI}=-1,$
что равносильно утверждению задачи
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой
Решение:
По теореме Менелая для треугольника $AIB$ и прямой $KQ$ получаем
$\frac{BQ}{QI}\cdot\frac{IP}{PA}\cdot\frac{AK}{KB}=-1.$
Аналогично, для треугольника $BIC$ и прямой $QL$ получаем
$\frac{CR}{RI}\cdot\frac{IQ}{QB}\cdot\frac{BL}{LC}=-1.$
Аналогично, для треугольника $CID$ и прямой $SM$ -
$\frac{DS}{SI}\cdot\frac{IR}{RC}\cdot\frac{CM}{MD}=-1.$
Перемножая эти равенства с учётом равенств $AK=AN$, $BK=BL$, $CL=CM$ и $DM=DN$, получаем
$\frac{IS}{SD}\cdot\frac{DN}{NA}\cdot\frac{AP}{PI}=-1,$
что равносильно утверждению задачи
