ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN\parallel AC$. Оказалось, что $NK=LN$. Найдите угол $ABC$


Решение:


Треугольник $LNK$ равнобедренный, поэтому $\angle KLN=\angle LKN$. Кроме того, равны углы $KLN$ и $LKA$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $LN$ и $AC$. Таким образом, $\angle KLN=\angle LKA$, т.е. луч $KL$ - биссектриса угла $AKB$. Следовательно, лежащая на нём точка $L$ равноудалена от прямых $KA$ и $KB$. Кроме того, она равноудалена от прямых $CA$ (т.е. $KA$) и $CB$, т.к. лежит на биссектрисе угла $ACB$. Значит, точка $L$ равноудалена от прямых $CB$ и $KB$, и потому должна лежать на биссектрисе того из углов, образованных этими прямыми, в котором она содержится. Это угол $KBC_{1}$, где $C_{1}$ - точка на продолжении отрезка $CB$ за точку $B$, а его биссектрисой должен быть луч $BL$ (т.е. $BA$). Отсюда получаем, что

$\angle ABC_{1}=\angle ABK=\angle CBK.$

Поскольку эти три угла вместе составляют развёрнутый угол, то каждый из них равен $60^{\circ}$, откуда

$\angle ABC=\angle ABK+\angle CBK=120^{\circ}$.