Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16372
2026-02-17 
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее - $EC$ или $AC$
Решение:
Если треугольник $ABC$ равносторонний, отрезки $AC$ и $EC$ равны. Рассмотрим случай, когда треугольник $ABC$ не равносторонний.
Поскольку $BC\gt CD=AC$ - наименьшая сторона равнобедренного треугольника $ABC$, а лежащий против неё угол $ABC$ - наименьший угол треугольника $ABC$, то $\angle ABC\lt60^{\circ}$ (см. задачу 4855) и $\angle ACB\gt60^{\circ}$. Тогда из треугольника $ACD$ получаем
$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ACB\lt60^{\circ},$
а из треугольника $CDE$ -
$\angle DEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CDE)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADC)\gt60^{\circ}.$
Таким образом, из треугольника $CDE$ получаем, что
$\angle DEC\gt60^{\circ}\gt\angle EDC=\angle ADC,$
откуда $AC=CD\gt CE$. Что и требовалось доказать
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее - $EC$ или $AC$
Решение:
Если треугольник $ABC$ равносторонний, отрезки $AC$ и $EC$ равны. Рассмотрим случай, когда треугольник $ABC$ не равносторонний.
Поскольку $BC\gt CD=AC$ - наименьшая сторона равнобедренного треугольника $ABC$, а лежащий против неё угол $ABC$ - наименьший угол треугольника $ABC$, то $\angle ABC\lt60^{\circ}$ (см. задачу 4855) и $\angle ACB\gt60^{\circ}$. Тогда из треугольника $ACD$ получаем
$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ACB\lt60^{\circ},$
а из треугольника $CDE$ -
$\angle DEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CDE)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADC)\gt60^{\circ}.$
Таким образом, из треугольника $CDE$ получаем, что
$\angle DEC\gt60^{\circ}\gt\angle EDC=\angle ADC,$
откуда $AC=CD\gt CE$. Что и требовалось доказать
