Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16366
2026-02-17 
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_{1}$ с центром $O$. Окружность $\omega_{2}$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$
Решение:
Пусть $M$, $N$ - середины дуг $BC$ и $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $K$ касания описанной и полувписанной окружностей лежит на прямой $NI$ (см. задачу @H10684). Кроме того, точка $I$ лежит на прямой $AM$. Значит, треугольники $IMN$ и $IKA$ подобны, причём отрезки $MN$ и $KA$ антипараллельны. Тогда продолжение симедианы $OI'$ треугольника $AIK$ проходит через середину $O$ отрезка $MN$ (см. задачу @H10341). Что и требовалось доказать
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_{1}$ с центром $O$. Окружность $\omega_{2}$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$
Решение:
Пусть $M$, $N$ - середины дуг $BC$ и $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $K$ касания описанной и полувписанной окружностей лежит на прямой $NI$ (см. задачу @H10684). Кроме того, точка $I$ лежит на прямой $AM$. Значит, треугольники $IMN$ и $IKA$ подобны, причём отрезки $MN$ и $KA$ антипараллельны. Тогда продолжение симедианы $OI'$ треугольника $AIK$ проходит через середину $O$ отрезка $MN$ (см. задачу @H10341). Что и требовалось доказать
