Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16368
2026-02-17 
В трапеции $ABCD$ основание $BC$ в два раза короче $AD$. Внутри трапеции отмечена такая точка $F$, что $AB=FB$. Докажите, что прямая, соединяющая точку $C$ с серединой отрезка $FD$, перпендикулярна $FA$
Решение:
Первый способ. Отметим середины $M$ и $N$ отрезков $DF$ и $AF$ соответственно. По теореме о средней линии треугольника
$MN=\frac{1}{2}AD=BC,~MN\parallel AD\parallel BC.$
Противоположные стороны $MN$ и $BC$ четырёхугольника $BCMN$ равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда $BN\parallel CM$, а т.к. треугольник $ABF$ равнобедренный, то его медиана $BN$ является высотой. Значит, $BN\perp AF$. Следовательно, $CM\perp AF$. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть $M$ - середина отрезка $DF$. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $K$. Из условия $AD=2BC$ следует, что $BC$ - средняя линия треугольника $AKD$, поэтому $C$ - середина отрезка $DK$. Тогда $CM$ - средняя линия треугольника $DKF$, поэтому $CM\parallel KF$. В то же время, $BF=AB=BK$, значит, треугольник $AFK$ прямоугольный (см. задачу 4846), $KF\perp AF$. Следовательно, $CM\perp AF$. Что и требовалось доказать
В трапеции $ABCD$ основание $BC$ в два раза короче $AD$. Внутри трапеции отмечена такая точка $F$, что $AB=FB$. Докажите, что прямая, соединяющая точку $C$ с серединой отрезка $FD$, перпендикулярна $FA$
Решение:
Первый способ. Отметим середины $M$ и $N$ отрезков $DF$ и $AF$ соответственно. По теореме о средней линии треугольника
$MN=\frac{1}{2}AD=BC,~MN\parallel AD\parallel BC.$
Противоположные стороны $MN$ и $BC$ четырёхугольника $BCMN$ равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда $BN\parallel CM$, а т.к. треугольник $ABF$ равнобедренный, то его медиана $BN$ является высотой. Значит, $BN\perp AF$. Следовательно, $CM\perp AF$. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть $M$ - середина отрезка $DF$. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $K$. Из условия $AD=2BC$ следует, что $BC$ - средняя линия треугольника $AKD$, поэтому $C$ - середина отрезка $DK$. Тогда $CM$ - средняя линия треугольника $DKF$, поэтому $CM\parallel KF$. В то же время, $BF=AB=BK$, значит, треугольник $AFK$ прямоугольный (см. задачу 4846), $KF\perp AF$. Следовательно, $CM\perp AF$. Что и требовалось доказать
