Шарнирно закреплённый стержень длиной $l$ с грузом массой $M$ на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикреплённой одним концом к пружине жёсткостью $k$, а другим — к грузу. Гвоздь вбит на высоте $l$ над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу $M$ может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет. «Устойчиво» означает, что если стержень отклонить на небольшой угол $\alpha$ и отпустить, то он вернётся в начальное положение (см. рисунок).
Подробнее
В системе, изображённой на рисунке, блоки и нити невесомы. Массы грузов, подвешенных к крайним блокам, одинаковы и равны $M$, а наклонные участки нити составляют с вертикалью угол $\alpha$. При каких значениях массы $m$ груза, подвешенного к центральному блоку, и коэффициента трения $\mu$ между крайними блоками и опорами система будет находиться в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?
Подробнее
Лёгкий цилиндр зажат между двумя одинаковыми рычагами так, что угол между ними равен $\alpha$ (см. рисунок). Точками показаны неподвижные оси рычагов, а стрелками — силы, приложенные к концам рычагов. При каком минимальном коэффициенте трения между рычагами и цилиндром он может находиться в равновесии в этом положении? Силой тяжести пренебречь.
Подробнее
На наклонной плоскости лежит тонкостенная труба массой $M$, на внутренней поверхности которой закреплён груз массой $m$, малых размеров. Угол наклона плоскости постепенно увеличивают (см. рисунок). При каких коэффициентах трения трубы о плоскость труба начнёт скользить по плоскости без вращения?
Подробнее
В дни празднования 850-летия основания Москвы продавалось много «летающих» воздушных шариков. Некоторые наиболее сообразительные школьники с помощью небольшого грузика «подвешивали» их к наклонным потолкам московского метро (см. рисунок). Грузик какой массы $M$ годится для этой цели? При решении задачи считайте, что шарик имеет форму сферы радиусом $R$, и проскальзывание о потолок отсутствует. Масса резиновой оболочки шарика $m$, плотность газа внутри шарика $\rho$, плотность атмосферы $\rho_{0}$, потолок имеет угол наклона $\alpha$.
Подробнее
Автомобиль повышенной проходимости может использовать в качестве ведущих либо передние, либо задние колёса. Водитель хочет буксировать тросом тяжёлый груз. Какую максимальную силу тяги $T$ (без рывка) сможет развить автомобиль, если коэффициент трения колёс о дорогу $\mu = 0,4$, масса автомобиля $M = 2 т$, расстояние между центрами колёс $l = 4 м$, радиус колёс $R = 0,3 м$? Центр масс автомобиля расположен на равном расстоянии от передней и задней оси на уровне осей колёс, трос горизонтален и прикреплён также на уровне осей колёс. Какие колёса должны быть ведущими?
Подробнее
Тонкостенная однородная цилиндрическая трубка радиусом $R$ стоит на горизонтальном столе (см. рисунок). В трубку опускают два одинаковых шара радиусом $r$, причём $R/2 < r < R$. При каком минимальном отношении $m/M$ ($m$ — масса каждого шара, $M$ — масса трубки) край трубки оторвётся от стола? Трение отсутствует.
Подробнее
Вертикальная труба радиусом $R$ заполнена песком на высоту $H (H > 100R)$. Плотность песка $\rho$. Найдите силу $F$ давления песка на дно трубы. Известно, что этот песок образует на горизонтальной поверхности горку с предельным углом при основании $\gamma_{0}$, причём этот угол мал $( \gamma_{0} \sim 0,05 рад)$. Коэффициент трения песка о материал трубы равен $\mu$.
Подробнее
Кусок однородного гибкого каната массой $M = 10 кг$ находится на горизонтальном столе. На один из концов каната действует сила $F = 50 Н$, при этом 2/3 каната неподвижно лежат на столе. Найдите возможные значения коэффициента трения каната о стол. Считайте, что все точки каната находятся в одной вертикальной плоскости.
Подробнее
При перетягивании каната два человека тянут его в противоположные стороны за концы с большой силой $F$. Найдите прогиб каната от горизонтальной линии под действием силы тяжести. Масса каната $m$, длина $L$ сила $F \gg mg$.
Подробнее
Два одинаковых груза соединены нитью длиной $l$. К одному из грузов прикреплена вторая нить такой же длины. Система находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Свободный конец нити медленно перемещают по дуге окружности. Известно, что при установившемся движении угол между нитями составляет $\alpha$ (см. рисунок). Найдите радиус окружности, по которой перемещают свободный конец нити.
Подробнее
Паук массой $m$ ползёт по лёгкой упругой паутинке жёсткостью $k$, натянутой под углом $\theta$ к горизонту между точками А и В, находящимися на расстоянии $L$ (см. рисунок). Собственной длиной паутинки можно пренебречь. Найдите траекторию паука, считая, что паутинка подчиняется закону Гука.
Подробнее
На стальной стержень радиусом $R$ плотно одето тонкое резиновое кольцо. Сила растяжения кольца равна $T$. Какую силу $F$ нужно приложить, чтобы сдвинуть кольцо вдоль стержня без вращения, если коэффициент трения между сталью и резиной равен $\mu$? Сдвигающая сила равномерно распределена по кольцу.
Подробнее
Из тонкой стальной ленты изготовлена трубка диаметром $d = 10 мм$. Какое внутреннее давление она может выдержать, если при приложении продольного усилия $F = 20000 Н$ трубка рвётся? Считайте, что шов на трубке имеет такую же прочность на разрыв, что и материал трубки.
Подробнее
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги равна $l = 1 м$, её сечение — квадрат со стороной $a = 1 см$.
Подробнее
